7.2. Параллелепипед.

Подобно тому как тетраэдр является пространственным аналогом треугольника, так параллелепипед является пространственным аналогом параллелограмма.

Параллелепипед можно определить как призму, в основании которой — параллелограмм (рис. 7.6). Таким образом, параллелепипед — это призма, у которой все грани — параллелограммы. Их всего шесть. Грани параллелепипеда распадаются на три пары равных и параллельно расположенных граней. Поэтому любую грань параллелепипеда можно принять за его основание.

Для каждой вершины параллелепипеда есть одна противоположная ей вершина, та которая не лежит с данной вершиной в одной грани. Отрезок, соединяющий противоположные вершины параллелепипеда, называется диагональю параллелепипеда (рис. 7.7). У параллелепипеда четыре диагонали.

Докажем, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Возьмем две диагонали параллелепипеда например, диагонали и (рис. 7.8). Поскольку четырехугольник — параллелограмм то диагонали

Рис. 7.9

пересекаются в некоторой точке О и делятся ею пополам.

Диагонали BDX и являются диагоналями параллелограмма , а потому пересекаются в середине диагонали , т.е. в точке О. Следовательно, и диагональ BDX проходит через точку О и делится ею пополам. Наконец, диагонали BXD и как диагонали параллелограмма пересекаются в точке, которая делит их пополам. Итак, все диагонали параллелепипеда проходят через одну точку О и делятся ею пополам.