28.2. Гомотетия.

Гомотетией с центром О и коэфициентом к Ф 0 называется преобразование, при котором каждой точке X сопоставляется такая точка X, что

(рис. 28.2). Не исключается, что

При гомотетия является центральной симметрией с центром в точке (рис. 28.3). При гомотетия является тождественным преобразованием. Гомотетию с центром О и коэффициентом к обозначаем так:

Основное свойство гомотетии. При гомотетии с коэффициентом к каждый вектор умножается на k.

Подробнее: если точки при гомотетии перешли в точки то

Из (2) следует, что . Поэтому

Из равенства (3) следует, что

Следовательно, гомотетия с коэффициентом к является подобием с коэффициентом

Основное свойство гомотетии позволяет легко получить ряд других свойств гомотетии.

Свойство 1. Гомотетия отрезок переводит в отрезок.

Пусть гомотетия переводит точки в точки Любая точка X отрезка АВ задается радиус-вектором

где (см. п.24.3). Умножив равенство (5) на к, получим

Поскольку и , то из этих равенств и (6) получаем, что

(рис. 28.4). Равенство (7) и означает, что точка пробегает отрезок А В, когда t меняется от 0 до 1.

Свойство 2. Гомотетия сохраняет величины углов, в том числе и перпендикулярность.

Все различные случаи (углы между прямыми, плоскостями и т.д.) сводятся к углам между лучами, идущими из одной точки. А именно, достаточно доказать,

что для любых точек и соответствующих им при гомотетии точек выполняется равенство

(рис. 28.5). Положив По основному свойству гомотетии . Так как

Из равенства косинусов и следует равенство углов. В

Свойство 3. Гомотетия треугольник переводит в треугольник, а тетраэдр переводит в тетраэдр.

То, что треугольник ABC при гомотетии переходит в треугольник АВС, где , следует из свойства (1). Действительно, треугольник ABC заполняют отрезки где точка X пробегает отрезок ВС. Эти отрезки гомотетия переведет в отрезки АХ, у которых точка X пробегает отрезок ВС. Поэтому отрезки АХ

Рис. 28.4

Рис. 28.5

Рис. 28.6

заполнят треугольник АВС. Аналогичное рассуждение проводится и для тетраэдров ABCD и ABCD (рис. 28.6).

Свойство 4. Гомотетия переводит прямую в прямую, луч — в луч, плоскость — в плоскость, полуплоскость — в полуплоскость и сохраняет при этом отношение их параллельности.

Эти утверждения доказываются точно так же, как соответствующие свойства движений (см. п. 26.2).

Свойство 5. Гомотетия обратима и преобразование, обратное гомотетии является гомотетией с тем же центром, и коэффициентом

Это свойство вытекает из равенства (2) (п.28.2).

Рис. 28.7