17.3. Площадь сферических многоугольников.

Мы уже говорили в п. 4.2, что роль отрезков в сферической геометрии играют дуги больших окружностей сферы (не больше полуокружности). Поэтому ломаной на сфере естественно назвать фигуру, составленную из таких дуг, подобно тому, как составлена ломаная на плоскости из отрезков (рис. 17.8). Как и на плоскости, замкнутая ломаная на сфере называется простой, если она не имеет самопересечений.

Каждая простая замкнутая ломаная на сфере разбивает ее на две области, которые называются сферическими многоугольниками (рис. 17.9). Сама ломаная при этом называется границей этих многоугольников, а ее звенья и вершины соответственно сторонами и вершинами ограниченных ею многоугольников.

Измеряется угол сферического многоугольника в его вершине углом между лучами, идущими из этой вершины и касательными к его сторонам, если соответствующий угол многоугольника выпуклый, или его дополнением до если угол многоугольника не выпуклый (рис. 17.10).

На плоскости многоугольник с наименьшим числом сторон и вершин — это треугольник. На сфере имеются двуугольники (рис. 17.11), две вершины которых диаметрально противоположны, а сторонами которых являются две полуокружности больших окружностей.

Выразим площадь двуугольника через его углы и радиус сферы. Пусть Q — двуугольник с вершинами на сфере S радиусом — угол двуугольника Q, причем (рис. 17.12). Тогда а равен величине двугранного утла, ребром которого является прямая

Рис.

Рис. 17.9

Рис. 17.10

Рис. 17.11

и в гранях которого лежат стороны двуугольника Q. Ясно, что площадь двуугольника Q составляет ту часть от площади всей сферы S, которую составляет его угол от т. е.

Поэтому

(угол а измеряется в радианах).

Оказывается, что площадь сферического треугольника Т, лежащего на сфере S радиусом R, выражается через углы этого треугольника по формуле:

Действительно, проведем большие окружности, на которых лежат стороны треугольника Т. Эти большие окружности образуют на сфере три пары двуугольников с углами a, р, у. Эти шесть двуугольников покрывают всю сферу. При этом треугольник Т и диаметрально противоположный ему треугольник Т покрываются трехкратно (двуугольником из каждой пары), а остальную часть сферы двуугольники покрывают без перекрытий (рис. 17.13). Поэтому сумма площадей всех шести двуугольников больше площади сферы S на , т. е. на так как . Итак, используя (7), имеем:

откуда и вытекает (8).

Разность называется избытком треугольника Т и обозначается

Доказанная формула (8) теперь может быть выражена так: площадь сферического треугольника пропорциональна его избытку.

Зная формулу для площади сферического треугольника, теперь легко найти выражение для площади любого простого сферического многоугольника Р.

Назовем поворотом многоугольника Р в его вершине А, имеющей угол , разность . Границу многоугольника Р обозначим символом и ее поворотом назовем сумму поворотов во всех вершинах .

Рис. 17.12

Рис. 17.13

Если число вершин Р равно , то

т. е. поворот границы -угольника показывает, насколько величина отличается от суммы его углов. Для простых многоугольников на евклидовой плоскости их поворот всегда равен так как сумма углов любого плоского -угольника равна Для сферического простого многоугольника имеет место слудующая теорема:

Теорема (о площади сферического многоугольника). Площадь простого многоугольника Р на сфере S радиусом R и поворот его границы связаны равенством

Докажем равенство (11) индукцией по числу вершин -угольника Р. Для оно имеет своими частными случаями уже доказанные равенства.

Рис. 17.14

Предположим, что (11) верно для всех многоугольников, число вершин которых меньше , и установим его для -угольника Р.

Разобьем произвольный -угольник Р какой-нибудь диагональю на многоугольники с меньшим числом вершин (рис. 17.14). Тогда легко подсчитать, что

Так как

и

то