24.5. Центр масс системы материальных точек.

Сравнивая формулы (12), (18) и (26), мы замечаем, что они единообразно выражают радиус-вектор центроида для отрезка, треугольника и тетраэдра. Обобщим понятие центроида на произвольную систему конечного числа точек . А именно, центроидом системы точек назовем точку Р, радиус-вектор которой выражается через радиус-векторы точек по формуле

Данное определение корректно: оно хотя и включает в себя выбор начальной точки О, но не зависит от этого выбора. Проверим это.

Действительно, возьмем другую точку О, и определим по формуле (29) положение центроида Р, системы Получим:

Из равенства следует, что т.е. положение центроида не зависит от выбора точки О.

Если начальную точку О выбрать в центроиде Р системы т.е. положить , то, поскольку из равенства (29) получаем равенство

Оно позволяет дать другое определение центроида, как такой точки Р для данной системы точек что выполняется равенство (30).

Будем считать теперь, что в точках помещены соответственно массы , т. е. рассмотрим систему S материальных точек Центром масс этой системы называется такая точка Р, радиус-вектор которой выражается равенством

Если все массы единичные (или равные друг другу), то центр масс системы S окажется центроидом системы точек

Как и для центроида, можно проверить, что определение центра масс корректно, т. е. не зависит от выбора начальной точки О. Повторите самостоятельно соответствующие выкладки.

Если точку О выбрать в центре масс, то от равенства (31) придем к равенству

Аналогично тому, как равенством (30) можно определить центроид, так равенством (32) можно определить центр масс системы

Для системы двух материальных точек равенство (32) дает известное "правило рычагов" Архимеда:

Центр масс обладает следующим важным свойством: если систему материальных точек S: разбить на две системы найти центры масс этих систем поместить в эти точки суммарные массы систем , то центром масс двухточечной системы материальных точек будет центр масс Р исходной системы

Докажем это утверждение. Радиус-вектор центра масс двухточечной системы вычисляется по формуле:

Для ОР и ОР" имеем:

и

Подставив (35) в (34) и учитывая, что , а получаем

т.е., точка является центром масс Р системы

В соответствии с этим свойством можно сначала найти, пользуясь "правилом рычага" Архимеда, центр масс любых двух материальных точек из данной системы, а затем добавлять по одной точке из данной системы и пользоваться правилом Архимеда. Именно так мы и поступали, когда последовательно находили центры масс отрезка, треугольника, тетраэдра.