2.6. Связь между параллельностью прямых и перпендикулярностью прямой и плоскости.

Наглядно ясно, что два перпендикуляра к одной плоскости параллельны, а плоскость, перпендикулярная к одной из параллельных прямых, перпендикулярна и к другой из них (рис. 2.22).

Доказав одно из этих взаимно обратных утверждений, другое легко можно получить как следствие доказанного. Сначала мы докажем первое из них.

Теорема 4 (о параллельности перпендикуляров). Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Пусть две прямые а и b перпендикулярны плоскости а и пересекают ее соответственно в точках А и В (рис. 2.23). Проведем через прямую а и точку В плоскость

Рис. 2.24

Рис. 2.25

Р и покажем, что прямая b также лежит в плоскости Р.

В плоскости а возьмем отрезок перпендикулярный отрезку АВ и имеющий точку А своей серединой. Так как то

Возьмем на прямой b любую точку и проведем отрезки СА, СМ, CN. Поскольку то треугольники СВМ и CBN прямоугольные. Они равны, так как имеют общий катет СВ и равные катеты ВМ и BN. Поэтому , т.е. треугольник CMN равнобедренный. Его медиана СА является также его высотой, т.е.

Итак, три прямые, проходящие через точку А, —АС, АВ и а — перпендикулярны прямой MN. По следствию о плоскости перпендикуляров они лежат в одной плоскости — плоскости . Следовательно, точка , т. е. прямая b лежит в плоскости Р (как и прямая О). Но в этой плоскости а и b перпендикулярны одной и той же прямой АВ (так как и прямая АВ лежит в плоскости а). Поэтому

Теперь уже просто доказывается следующая теорема.

Теорема 5. (о параллели к перпендикуляру). Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Пусть две прямые а и b параллельны и (рис. 2.24). Докажем, что Прямая b пересекает плоскость а в некоторой точке В (по лемме п. 1.8). Проведем через точку В прямую (задача 3 п. 2.5). По теореме 4 о параллельности перпендикуляров с . Но через точку В проходит лишь одна прямая, параллельная прямой а, — это прямая b. Поэтому . А так как то

Теоремы 4 и 5 позволяют дать простое доказательство утверждению о том, что две прямые, паралльные третьей прямой, параллельны (см. п. 1.8).

Действительно, пусть две прямые а и b параллельны прямой С . Докажем, что . Проведем плоскость а, перпендикулярную прямой С (рис. 2.25). По теореме 5 о параллели к перпендикуляру . А тогда по теореме 4 о параллельности перпендикуляров