§ 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

3.1. Простейшие предложения о параллельности.

О параллельности прямых и плоскостей уже говорилось в § 1. Напомним, что две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Аналогично, прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих

Рис. 3.1

Рис. 3.2

Рис. 3.3

Рис. 3.4

точек. На ребрах и гранях наклонного параллелепипеда (рис. 3.1) видны все соотношения параллельности прямых и плоскостей и хорошо иллюстрируются предложения о параллельности. В тех же случаях, когда речь пойдет о соотношениях между параллельностью и перпендикулярностью, следует обращаться к ребрам и граням прямоугольного параллелепипеда (рис. 3.2) или куба.

Начнем с двух простейших утверждений о параллельности, справедливость которых вытекает непосредственно из определений параллельных прямых и плоскостей.

Предложение 1. Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекают третью плоскость, параллельны (рис. 3.3).

Предложение 2.

Прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, параллельна другой из этих плоскостей (рис. 3.4).

Чуть сложнее доказываются еще три предложения.

Предложение 3.

Вели прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.

Рис. 3.5

Действительно, пусть плоскости а и (3 параллельны и прямая а пересекает плоскость а в точке А (рис. 3.5). Проведем плоскость у через прямую а и любую точку

Рис. 3.6

Рис. 3.7

В плоскости . Тогда у пересекает по параллельным прямым b и с (по предложению 1). В плоскости у прямая а пересекает одну из этих прямых в точке А, а потому пересекает и параллельную ей прямую в некоторой точке С. В этой точке С и пересекает прямая а плоскость Р.

Предложение 4. (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая параллельна некоторой прямой, лежащей в данной плоскости, но сама не содержится в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Действительно, пусть прямая а параллельна прямой b, лежащей в плоскости а, но сама не лежит в плоскости а (рис. 3.6). Если бы прямая а пересекала плоскость а, то точка их пересечения не лежала бы на прямой b (так как ). А тогда, по признаку 2 из п. 1.6, следовало бы, что прямые а и b скрещиваются, что противоречит условию. Поэтому прямая а не пересекает плоскость а, т.е.

Предложение 5. Если в одной из двух пересекающихся плоскостей, лежит прямая, параллельная другой плоскости, то эта прямая параллельна линии их пересечения.

Действительно, пусть плоскости пересекаются по прямой плоскости а лежит прямая b, которая параллельна плоскости Р (рис. 3.7). Прямая b не пересекает

прямую а, так в этом случае она пересекла бы плоскость Р. Так как а и b лежат в одной плоскости а, то

Следствием предложений 4 и 5 является следующее утверждение:

Предложение 6. Если две пересекающиеся плоскости проходят через параллельные прямые, то прямая их пересечения параллельна этим прямым (рис. 3.8).

Рис. 3.8