22.5. Равенство координат векторов и координат точек.

Теорема (о равенстве координат). Если в пространстве введена система координат с началом в точке О и единичными векторами i, j, k координатных осей , то координаты любой точки М совпадают с соответствующими координатами ее радиус-вектора ОМ.

Возьмем некоторую точку М с координатами определению это координата на оси X точки — проекции точки М на эту ось. Аналогично и определяются как координаты проекций точки М на оси у и z. Отрезок ОМ является диагональю прямоугольного параллелепипеда с ребрами

может вырождаться в прямоугольник, отрезок и даже точку). Следовательно,

Как известно из планиметрии, Поэтому

т. е. координаты точки М являются координатами ее радиус-вектора ОМ.

Эта теорема позволяет найти координаты вектора, отложенного от любой точки, если мы знаем координаты его начала и его конца.

Следствие 1 (о координатах вектора). Координаты вектора, отложенного от произвольной точки, равны разности соответствующих координат его конца и его начала.

Пусть точка А имеет координаты , а точка В — координаты Тогда по предыдущей теореме

Поэтому

что и требовалось доказать.

Следствие 2 (о длине вектора). Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, т.е., если

то

Отложим вектор V от начала — точки О: . Тогда точка V будет иметь координатами числа а, b, с. По формуле расстояния между точками (п. 18.4)

Но т.е. имеет место (19).