26.7. Композиция отражений в плоскости.
Среди перечисленных нами частных видов движений особую роль играют зеркальные симметрии. Оказывается, любое движение пространства представимо в виде композиции не более четырех зеркальных симметрий. Докажем это утверждение.
Теорема (о композиции зеркальных симметрий). Движение пространства первого рода представимо композицией двух или четырех симметрий относительно плоскости. Движение пространства второго рода есть либо отражение в плоскости, либо представимо в виде композиции трех симметрий относительно плоскости.
Пусть f — некоторое движение пространства. Возьмем любой треугольник ABC и пусть 
. Так как 
движение, то треугольники ABC и АВС равны. Может оказаться, что они симметричны относительно некоторой плоскости а. Тогда симметрия 
переводит треугольник ABC в треугольник АВС. В этом случае теорема доказана, так как тогда согласно теореме подвижности 
либо 
(если 
— второго рода), либо 
, где 
— плоскость, в которой лежит треугольник АВС.
Рассмотрим общий случай расположения треугольников ABC и АВС. В этом случае обозначим через а плоскость, относительно которой симметричны точки А и А (если 
то a — любая плоскость, проходящая через точку А). Положим 
Рис. 26.12
(рис. 26.12). Так как 
, то 
. Пусть 
. Тогда точка А равноудалена от точек В и 
а потому лежит в плоскости [3, относительно которой симметричны В и 
Следовательно, 
Если же 
то в качестве плоскости 
берем любую плоскость, в которой лежит отрезок АВ.
Положим 
Пусть у — плоскость, относительно которой симметричны точки 
, если 
Если же 
то полагаем 
Так как 
, то точки В и А лежат в плоскости у. Поэтому 
Итак, движение f и композиция симметрий 
переводят А в А, В в В, С в С. Если 
второго рода, то по теореме подвижности 
Если же 
первого рода, то по той же теореме 
Следствие. Композиция симметрий относительно двух пересекающихся плоскостей есть поворот вокруг прямой, по которой пересекаются эти плоскости.
