2.4. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Ясно, что нельзя проверить перпендикулярность прямой и плоскости, пользуясь непосредственно определением
этого понятия: ведь в нем речь идет о перпендикулярности бесконечного множества пар прямых. Но, оказывается, что для этого достаточно установить перпендикулярность лишь двух пар прямых. Об этом и говорится в следующей теореме.
Теорема 2. Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, перпендикулярна этой плоскости.
Пояснение: Вот пример: раскройте книгу и поставьте ее на стол (рис. 2.14).
Рис. 2.14
Корешок книги перпендикулярен краям обложки, лежащим на столе, и, тем самым, самому столу. Еще пример. Устанавливая вертикально мачту, достаточно сделать так, чтобы она была перпендикулярна двум прямым, проведенным через ее основание на палубе или на земле. А это можно сделать, натянув из одной точки мачты две пары растяжек равной длины и закрепив их на одинаковых расстояниях от основания мачты на каждой из двух прямых (рис. 2.15). Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости имеет в своей основе это реальное построение.
Пусть прямая а пересекает плоскость а в точке О и перпендикулярна двум прямым b и С, проходящим в плоскости а через точку О. Нужно доказать, что прямая а перпендикулярна ко всякой прямой, проходящей через точку О в плоскости а. Возьмем любую такую прямую d, отличную от b и С (рис. 2.16).
Рис. 2.15
Рис. 2.16
Выберем на прямых b и С по точке В и С так, чтобы отрезок ВС пересекал прямую d в какой-то точке D. Возьмем точки 
и С, ЕС так, чтобы точка О была серединой отрезков 
и 
т. е. чтобы 
и С, были симметричны точкам В и С относительно точки О в плоскости а. Тогда отрезок ВХСХ, симметричный относительно О отрезку ВС, пересечет прямую d в точке 
симметричной точке D относительно О (докажите!).
В силу симметричности точек 
точкам В, С, D имеем равенства
Возьмем теперь на прямой а любую точку 
и соединим ее отрезками АВ, AC, AD, 
и 
с точками 
Так как 
и 
то а является серединным перпендикуляром к отрезку 
. Поэтому 
. Аналогично 
. Так как, кроме того, 
, то 
т.е. 
. Кроме этих равных углов, в треугольниках ABD и 
имеем 
и 
. Но тогда и 
Следовательно, точка А равноудалена от концов отрезка 
Так как точка О — середина отрезка 
, то прямая 
является серединным перпендикуляром к отрезку 
в плоскости 
, т. е. 
Итак, 
