10.4. Выпуклые фигуры.

Одним из важнейших классов тел является класс выпуклых тел. Перед тем как рассказать о нем, познакомимся с более общим понятием выпуклой фигуры.

Фигура называется выпуклой, если вместе с каждыми двумя своими точками она содержит и соединяющий их отрезок (рис. 10.6).

Точка и пустое множество (фигура, не имеющая точек) считаются выпуклыми фигурами.

Примеры выпуклых фигур: отрезок, луч, прямая, плоскость, треугольник, параллелограмм, круг, все пространство, полупространство, шар (рис. 10.7). Докажем, например, что круг — выпуклая фигура.

Рис. 10.6

Рис. 10.7

Рис. 10.8

Рассмотрим круг D радиуса R с центром О (рис. 10.8). Возьмем любые две точки . Тогда Возьмем любую точку Z на отрезке XY. Тогда выполняется хотя бы одно из двух неравенств: или (так как хотя бы один из смежных углов OZX и OZY не острый). Поскольку то и , т. е. . А это значит, что отрезок XY содержится в круге , т.е. круг D — выпуклая фигура.

Докажем несколько предложений о выпуклых фигурах. Начнем с самого важного из них.

Предложение 1. Пересечение (общая часть) любых двух выпуклых фигур есть выпуклая фигура, и вообще, пересечение любой совокупности выпуклых фигур есть выпуклая фигура.

Пусть — две выпуклые фигуры и F — их пересечение (рис. 10.9). Если две точки принадлежат фигуре F, то значит они принадлежат и фигурам . А тогда по выпуклости фигуры она содержит отрезок АВ. Аналогично, содержит отрезок АВ. Поэтому отрезок АВ содержится и в , т. е., в фигуре F. Итак, отрезок, соединяющий любые две

Рис. 10.9

Рис. 10.10

Рис. 10.11

точки А и В фигуры F, содержится в F, т. е., фигура F — выпуклая фигура.

В случае пересечения любой совокупности выпуклых фигур доказательство то же, но следует говорить не о двух фигурах, а сразу о фигурах всей совокупности. Повторите это доказательство еще раз.

Замечание. В частности, пересечение данных фигур может быть пустым или одноточечным множеством. Если бы пустое и одноточечное множества не считались выпуклыми, то эти случаи надо было бы исключить из теоремы и ее нельзя было бы формулировать так кратко.

Предложение 1 позволяет получать выпуклые фигуры путем пересечения каких-либо выпуклых фигур. Например, треугольник ABC можно получить пересечением трех полуплоскостей, на границах которых лежат две вершины треугольника и внутри них — третья вершина (рис. 10.10). Часто используются и следующие три утверждения.

Предложение 2. Пересечение выпуклой фигуры с плоскостью является выпуклой фигурой (рис. 10.11).

Оно вытекает из предложения 1 и выпуклости плоскости.

Предложение 3. Каждая плоскость разбивает любую выпуклую фигуру на две выпуклые фигуры (рис. 10.11). Каждая из них есть пересечение исходной выпуклой фигуры с полупространством, ограниченным данной плоскостью.

Отметим, что точки исходной фигуры, лежащие в этой плоскости, относятся к каждой из полученных выпуклых фигур.

Предложение 4. Проекция выпуклой фигуры на плоскость есть выпуклая фигура.

Рис. 10.12

Действительно, пусть F — выпуклая фигура и F — ее проекция на плоскость а (рис. 10.12). Возьмем любые две точки А и В фигуры F. Они являются проекциями некоторых точек А и В фигуры F. Поскольку F — выпуклая фигура, то отрезок АВ содержится в фигуре F. Значит проекция отрезка АВ — отрезок АВ — содержится в фигуре F, т. e., F— выпуклая фигура.

Отметим также, что цилиндр и конус выпуклы тогда и только тогда, когда их основания — выпуклы. Докажем это, например, для цилиндра.

Следует доказать два утверждения:

1) если цилиндр выпуклый, то его основание — выпукло;

2) если основание цилиндра выпукло, то и сам цилиндр выпуклый.

Первое утверждение непосредственно вытекает из предложения 2, так как основание цилиндра является пересечением цилиндра с плоскостью этого основания.

Докажем второе утверждение. Пусть основание F цилиндра С выпукло (рис. 10.13). Возьмем в цилиндре любые две точки А и В и проведем через них образующие и . Если А и В лежат на одной образующей, то отрезок А В лежит в цилиндре С. Поэтому будем считать, что образующие различны. Концы этих образующих, лежащие в F, — точки X и Y — являются концами отрезка XY, лежащего в F, так как основание F — выпукло.

Рис. 10.13

Рис. 10.14

Поэтому все отрезки , исходящие из точек Z отрезка XY, параллельные и равные отрезку , являются образующими цилиндра С. Следовательно, параллелограмм содержится в цилиндре С.

Так как отрезок АВ содержится в параллелограмме XXY Y, то отрезок А В содержится в С. Итак, цилиндр С выпуклый.