1.7. Параллельные прямые.
Как и на плоскости, для параллельных прямых в пространстве справедливы следующие утверждения.
Предложение 1. Через каждую точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная ей, и притом только одна.
Действительно, пусть точка А не лежит на прямой а (рис. 1.25). В плоскости а, проходящей через точку А и прямую О, через точку А проходит единственная прямая b, параллельная прямой а. Те же прямые, которые проходят через А и пересекают плоскость а, скрещиваются с прямой а (по признаку 2 п. 1.6).
Предложение 2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Действительно, пусть каждая из прямых а и b параллельна прямой С (рис. 1.26). Докажем, что 
. При доказательстве будет использована следующая лемма.
Лемма. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую из них.
Пусть прямые 
и q параллельны и плоскость а пересекает прямую 
в точке Р (рис. 1.27). Проведем плоскость Р через параллельные прямые 
и q. Плоскости Р и а имеют общую точку Р, а потому пересекаются по прямой Г, проходящей через точку Р. Прямая q пересекает прямую Г в некоторой точке Q. В этой точке прямая q и пересекает плоскость а.
Рис. 1.27
А теперь снова продолжим доказательство предложения 2. Возьмем на прямой b любую точку В и проведем плоскость а через эту точку и прямую а. Тогда прямая b также лежит в плоскости а. Если бы прямая b пересекала плоскость а, то по лемме, параллельная ей прямая С также пересекала бы плоскость а. А тогда, снова по лемме, прямая О, параллельная прямой С, пересекла бы плоскость а. А это противоречит тому, что а лежит в плоскости а. Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости а. Общей точки они не имеют, так как в этом случае мы получили бы противоречие с предложением 1. Следовательно, прямые а и b параллельны. Предложение 2 доказано.
Как вы видите, доказательство предложения 2 достаточно сложно. Простое его доказательство мы сможем получить в следующем параграфе, когда докажем ряд теорем о перпендикулярности прямой и плоскости.
