11.2. Выпуклые многогранники.

Что такое выпуклый многогранник ясно из названия: согласно данных нами определений, это многогранник, любые две точки которого соединены в нем отрезком. Но часто выпуклым называют многогранник, который лежит с одной стороны от плоскости каждой своей грани (рис. 11.8), т. е. аналогично тому, как определяют выпуклые многоугольники в планиметрии (рис. 11.9). Докажем равносильность этих двух подходов к понятию выпуклого многогранника. Эта равносильность вытекает из следующих предложений.

Предложение 1. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани, т. е. каждая такая плоскость является опорной для выпуклого многогранника.

Допустим, что выпуклый многогранник Р не лежит по одну сторону от плоскости а некоторой своей грани Q. Тогда в Р имеются точки А и В, лежащие по разные стороны от а (рис. 11.10). Тогда, соединяя точки А и В со всеми точками грани Q, мы получили бы многогранник состоящий из двух пирамид с общим основанием Q. Внутренние точки грани Q лежат внутри Поскольку содержится в Р (так как Р — выпуклая фигура), то эти точки лежат внутри Р, что невозможно, так как грань Q лежит на границе многогранника Р. Полученное противоречие доказывает предложение.

Доказанное свойство выпуклого многогранника наглядно можно выразить так: выпуклый многогранник

Рис. 11.11

Рис. 11.12

можно приложить к плоской поверхности (например, к столу) каждой своей гранью.

Прежде чем доказать предложение, обратное предложению 1, докажем следующую лемму.

Лемма (об отделимости). Пусть многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Тогда, если точка А не принадлежит этому многограннику, то у него найдется такая грань, что точка А и все внутренние точки данного многогранника лежат по разные стороны от плоскости этой грани, т.е. такая плоскость отделяет точку А от данного многогранника.

Пусть многогранник Р лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани и точка А не принадлежит Р. Отрезок, соединяющий точку А с любой точкой В, лежащей внутри Р, пересекает поверхность многогранника Р и тем самым имеет общую точку хотя бы с одной гранью Q (рис. 11.11). Можно считать, что отрезок АВ пересекает грань Q во внутренней точке, (так как этого можно добиться чуть-чуть сместив точку В). Плоскость а грани Q и отделяет точку А от многогранника Р, так как А и Р лежат по разные стороны от плоскости а.

Предложение 2. Если многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани, то он выпуклый.

Пусть многогранник Р лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Допустим, что он невыпуклый. Тогда в Р найдутся такие точки А и В, что на

отрезке АВ имеется точка С, не принадлежащая Р (рис. 11.12). Эта точка С по лемме об отделимости должна была бы отделяться от Р плоскостью, которая пересекала бы как отрезок АС, так и отрезок СВ, что невозможно, так как плоскость пересекает прямую лишь в одной точке. Итак, Р — выпуклый многогранник.

Мы установили равносильность двух подходов к определению выпуклого многогранника. Аналогичные рассуждения могут быть проведены и в планиметрии для выпуклых многоугольников. Теперь легко доказать предложение, которое дает еще один подход к возможности определить выпуклый многогранник.

Предложение 3. Выпуклый многогранник есть пересечение содержащих его полупространств, ограниченных плоскостями его граней.

Действительно, во-первых, выпуклый многогранник, согласно предложению 1, содержится в одном из полупространств, ограниченном плоскостью любой его грани, а потому содержится и в пересечении этих полупространств. Во-вторых, по лемме об отделимости, каждая точка вне многогранника отделяется от него плоскостью какой-либо его грани, т. е. не попадает хотя бы в одно из рассматриваемых полупространств. Поэтому общая часть этих полупространств содержит многогранник, но не содержит никаких лишних точек, т. е. совпадает с многогранником.

Еще два наглядно очевидных предложения требуют, тем не менее, некоторых обоснований.

Предложение 4. Каждая грань выпуклого многогранника является выпуклым многоугольником.

Действительно, пусть Q — грань выпуклого многогранника Р, а - плоскость грани Q (рис. 11.8). Согласно предложению 1 плоскость а опорная для Р. Поэтому пересечение многогранника Р с плоскостью а содержится в границе многогранника Р, а потому состоит из многоугольников, Вместе с тем, это пересечение Р с а представляет собой выпуклую фигуру, как пересечение выпуклых фигур. Поэтому оно является выпуклым многоугольником. Он содержит грань Q, а значит совпадает с нею (так грань не может уже содержаться

ни в каком другом многоугольнике, лежащем на границе многогранника).

Предложение 5. Плоскость, проходящая через внутреннюю точку выпуклого многогранника, пересекает его по выпуклому многоугольнику.

Действительно, пусть плоскость а проходит через внутреннюю точку А выпуклого многогранника Р. Тогда фигура Q — пересечение Р и а — выпукла и содержит внутренние точки. Кроме того, граница фигуры Q есть пересечение плоскости а с границей многогранника Р, а потому состоит из конечного числа отрезков. Значит Q — выпуклый многоугольник.

В дополнение к предложению 5 отметим, что пересечение выпуклого многогранника с его опорной плоскостью есть либо грань, либо ребро, либо вершина этого многогранника.

Укажем еще характерное свойство выпуклости призм и пирамид: призма и пирамида выпуклы тогда и только тогда, когда их основаниями являются выпуклые многоугольники.

Для выпуклых многогранников Эйлером была доказана замечательная теорема, носящая его имя, а позднее оказалось что она справедлива для гораздо более широкого класса многогранников и имеет глубокие обобщения для поверхностей.