Главная > Стереометрия. Геометрия в пространстве
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

11.2. Выпуклые многогранники.

Что такое выпуклый многогранник ясно из названия: согласно данных нами определений, это многогранник, любые две точки которого соединены в нем отрезком. Но часто выпуклым называют многогранник, который лежит с одной стороны от плоскости каждой своей грани (рис. 11.8), т. е. аналогично тому, как определяют выпуклые многоугольники в планиметрии (рис. 11.9). Докажем равносильность этих двух подходов к понятию выпуклого многогранника. Эта равносильность вытекает из следующих предложений.

Предложение 1. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани, т. е. каждая такая плоскость является опорной для выпуклого многогранника.

Допустим, что выпуклый многогранник Р не лежит по одну сторону от плоскости а некоторой своей грани Q. Тогда в Р имеются точки А и В, лежащие по разные стороны от а (рис. 11.10). Тогда, соединяя точки А и В со всеми точками грани Q, мы получили бы многогранник состоящий из двух пирамид с общим основанием Q. Внутренние точки грани Q лежат внутри Поскольку содержится в Р (так как Р — выпуклая фигура), то эти точки лежат внутри Р, что невозможно, так как грань Q лежит на границе многогранника Р. Полученное противоречие доказывает предложение.

Доказанное свойство выпуклого многогранника наглядно можно выразить так: выпуклый многогранник

Рис. 11.11

Рис. 11.12

можно приложить к плоской поверхности (например, к столу) каждой своей гранью.

Прежде чем доказать предложение, обратное предложению 1, докажем следующую лемму.

Лемма (об отделимости). Пусть многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Тогда, если точка А не принадлежит этому многограннику, то у него найдется такая грань, что точка А и все внутренние точки данного многогранника лежат по разные стороны от плоскости этой грани, т.е. такая плоскость отделяет точку А от данного многогранника.

Пусть многогранник Р лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани и точка А не принадлежит Р. Отрезок, соединяющий точку А с любой точкой В, лежащей внутри Р, пересекает поверхность многогранника Р и тем самым имеет общую точку хотя бы с одной гранью Q (рис. 11.11). Можно считать, что отрезок АВ пересекает грань Q во внутренней точке, (так как этого можно добиться чуть-чуть сместив точку В). Плоскость а грани Q и отделяет точку А от многогранника Р, так как А и Р лежат по разные стороны от плоскости а.

Предложение 2. Если многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани, то он выпуклый.

Пусть многогранник Р лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Допустим, что он невыпуклый. Тогда в Р найдутся такие точки А и В, что на

отрезке АВ имеется точка С, не принадлежащая Р (рис. 11.12). Эта точка С по лемме об отделимости должна была бы отделяться от Р плоскостью, которая пересекала бы как отрезок АС, так и отрезок СВ, что невозможно, так как плоскость пересекает прямую лишь в одной точке. Итак, Р — выпуклый многогранник.

Мы установили равносильность двух подходов к определению выпуклого многогранника. Аналогичные рассуждения могут быть проведены и в планиметрии для выпуклых многоугольников. Теперь легко доказать предложение, которое дает еще один подход к возможности определить выпуклый многогранник.

Предложение 3. Выпуклый многогранник есть пересечение содержащих его полупространств, ограниченных плоскостями его граней.

Действительно, во-первых, выпуклый многогранник, согласно предложению 1, содержится в одном из полупространств, ограниченном плоскостью любой его грани, а потому содержится и в пересечении этих полупространств. Во-вторых, по лемме об отделимости, каждая точка вне многогранника отделяется от него плоскостью какой-либо его грани, т. е. не попадает хотя бы в одно из рассматриваемых полупространств. Поэтому общая часть этих полупространств содержит многогранник, но не содержит никаких лишних точек, т. е. совпадает с многогранником.

Еще два наглядно очевидных предложения требуют, тем не менее, некоторых обоснований.

Предложение 4. Каждая грань выпуклого многогранника является выпуклым многоугольником.

Действительно, пусть Q — грань выпуклого многогранника Р, а - плоскость грани Q (рис. 11.8). Согласно предложению 1 плоскость а опорная для Р. Поэтому пересечение многогранника Р с плоскостью а содержится в границе многогранника Р, а потому состоит из многоугольников, Вместе с тем, это пересечение Р с а представляет собой выпуклую фигуру, как пересечение выпуклых фигур. Поэтому оно является выпуклым многоугольником. Он содержит грань Q, а значит совпадает с нею (так грань не может уже содержаться

ни в каком другом многоугольнике, лежащем на границе многогранника).

Предложение 5. Плоскость, проходящая через внутреннюю точку выпуклого многогранника, пересекает его по выпуклому многоугольнику.

Действительно, пусть плоскость а проходит через внутреннюю точку А выпуклого многогранника Р. Тогда фигура Q — пересечение Р и а — выпукла и содержит внутренние точки. Кроме того, граница фигуры Q есть пересечение плоскости а с границей многогранника Р, а потому состоит из конечного числа отрезков. Значит Q — выпуклый многоугольник.

В дополнение к предложению 5 отметим, что пересечение выпуклого многогранника с его опорной плоскостью есть либо грань, либо ребро, либо вершина этого многогранника.

Укажем еще характерное свойство выпуклости призм и пирамид: призма и пирамида выпуклы тогда и только тогда, когда их основаниями являются выпуклые многоугольники.

Для выпуклых многогранников Эйлером была доказана замечательная теорема, носящая его имя, а позднее оказалось что она справедлива для гораздо более широкого класса многогранников и имеет глубокие обобщения для поверхностей.

1
Оглавление
email@scask.ru