28.4. Группы преобразований.
Последние два свойства подобий (свойства 5 и 6) напоминают и об аналогичных свойствах других совокупностей преобразований, например, движений или параллельных переносов. Те совокупности преобразований, которые обладают такими свойствами, называются группами преобразований. Определим это понятие точнее.
Пусть Q — некоторая фигура (в частности, Q может быть всем пространством). Совокупность обратимых преобразований G фигуры Q называется группой преобразований фигуры Q, если выполняются два условия:
1) для любого преобразования f из совокупности 
обратное ему преобразование 
также принадлежит совокупности 
2) композиция любых двух преобразований 
из совокупности G также является преобразованием из совокупности 
т. е. 
Из этого определения следует, что тождественное преобразование принадлежит любой группе преобразований, так как, если 
то 
У одной и той же фигуры Q могут быть различные группы преобразований. Пусть Н и G — две группы преобразований фигуры Q. Если каждое преобразование из группы Н является преобразованием из группы 
(т. е. Н есть часть G), то говорят, что Н является подгруппой группы 
Приведем несколько примеров групп преобразований самой широкой фигуры — всего пространства. Проверка того, что для каждого из этих примеров выполняются оба условия, определяющие группу преобразований, либо уже выполнена нами, либо достаточно очевидна и мы оставляем ее читателю в качестве упражнения.
1. Группа всех подобий пространства.
2. Группа всех движений пространства. Она является подгруппой группы подобий.
3. Группа всех движений пространства первого рода. Она является подгруппой группы всех движений пространства.
4. Группа всех параллельных переносов. Она является подгруппой группы всех движений первого рода. Группа переносов обладает коммутативностью, поскольку 
так как 
5. Группа всех гомотетий с фиксированным центром.
6. Группа всех поворотов вокруг фиксированной прямой.
7. Подгруппа, состоящая из двух элементов: некоторой симметрии (относительно точки, прямой или плоскости) и тождественного преобразования.
Наиболее широкой группой преобразований данной фигуры Q является группа всех обратимых преобразований фигуры Q. Самая же бедная ее подгруппа состоит всего лишь из одного тождественного преобразования.
Необходимость рассматривать различные группы преобразований того или иного множества (а не только групп преобразований геометрических фигур) возникает очень часто. В математике она впервые появилась в работах французского математика Эвариста Галуа (1811—1832) в его исследованиях о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах.
Когда в XIX веке рядом с евклидовой геометрией появились и другие, неевклидовы геомерии (первой из них была геомерия Лобачевского), то общую точку зрения на эти геометрии в рамках теории преобразований дал немецкий математик Феликс Клейн (1849—1925). Согласно его концепции, каждая геометрия порождается некоторой группой преобразований.
Еще отметим группу симметрии данной фигуры Q. Так называется совокупность всех движений, совмещающих фигуру Q саму с собой.
Чем богаче группа симметрии фигуры, тем симметричнее, правильнее эта фигура. Изучая различные фигуры в предыдущих главах, мы каждый раз рассматривали движения, совмещающие эти фигуры, т. е. находили их группы симметрии. Самая симметричная фигура — все пространство: любое движение пространство совмещает с собой. Из многогранников самыми симметричными являются правильные многогранники. Из ограниченных фигур самыми симметричными являются шар и сфера. Вспомните еще раз, какие движения самосовмещают их.
