25.5. Поворот.

Примеров реальных поворотов вокруг прямой очень много: поворот двери, колеса вокруг оси, пропеллера, ворота колодца и т.п. В геометрии же поворотом фигуры вокруг прямой а на угол называется преобразование, которое осуществляется так: в каждой плоскости, перпендикулярной прямой а и пересекающей фигуру, происходит поворот вокруг точки пересечения этой плоскости с прямой а на угол в одном и том же направлении для всех плоскостей (рис. 25.9). Прямая a называется осью поворота, угол — углом поворота. Поворот задается осью, углом и направлением поворота в какой-либо плоскости, перпендикулярной оси поворота.

Осевая симметрия в пространстве является поворотом на 180° вокруг оси симметрии. Действительно, в результате поворота на 180° вокруг прямой а точка X, не лежащая на прямой а, перейдет в такую точку X,

что прямая а перпендикулярна отрезку и пересекает его в середине.

Теорема (о повороте). Поворот вокруг прямой является движением.

Пусть при повороте на угол вокруг оси а точки А и В перешли в точки А и В. Докажем, что

Если точки А и В лежат в одной плоскости, перпендикулярной оси, то так как поворот в плоскости — движение.

Допустим, что точка А лежит в плоскости а точка В — в другой плоскости (рис. 25.10). Пусть Р — точка пересечения плоскости а и прямой а, точка пересечения Р и а. Опустим из точек В и В перпендикуляры ВС и ВС на плоскость а. Так как то ВС=ВС (см. ). Так как линейные углы одного и того же двугранного угла, то Кроме того так как Поэтому при рассматриваемом повороте точка С переходит в точку С. Следовательно, отрезок АС получен поворотом на угол из отрезка АС в плоскости а. Следовательно,

Наконец, мы замечаем еще, что поскольку то . Поэтому треугольники ABC и АВС прямоугольные. Они равны, так как Следовательно,