18.4. Выражение расстояния между точками.

Теорема. В прямоугольных координатах расстояние между точками выражается формулой:

Словами: расстояние между точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей их координат.

Рис. 18.4

Пусть даны две точки

Прямая АВ может быть параллельна только одной оси, так что она, допустим, не параллельна оси z. Проведем через точки А и В прямые а и b, параллельные оси Z и, следовательно, перпендикулярные плоскости (рис. 18.4). Они пересекут эту плоскость в точках А и В с координатами (согласно п. 18.2). Как известно из планиметрии, расстояние равно:

Если то отрезки АВ и АВ представляют противоположные стороны прямоугольника (или совпадают, когда точки А и В лежат на плоскости ). В этом случае Таким образом, формула (2) для этого случая и дает формулу (1).

Допустим, Параллельные прямые а и b лежат в одной плоскости. Проведем из точки А перпендикуляр А С на прямую b. Получаем прямоугольный треугольник ABC и прямоугольник ААВС. Тогда и

По теореме Пифагора

Подставив сюда значение АВ из выражения (2), получим формулу (1).

Замечание. Как и равенство (2) является записью теоремы Пифагора в координатах, так и равенство (1) дает

выражение пространственной теоремы Пифагора тоже в координатах.