§ 5. ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

5.1. Определение трехгранного угла и его элементов.

Если в стереометрии аналогами плоских углов можно считать двугранные углы, то трехгранные углы можно рассматривать как аналоги плоских треугольников, а кроме того, как мы увидим, они естественно связаны со сферическими треугольниками.

Определить трехгранный угол можно так. Возьмем любые три луча а, b, с, имеющие общее начало О и не лежащие в одной плоскости (рис. 5.1). Эти лучи являются сторонами трех выпуклых плоских углов: угла а со сторонами b, с, угла Р со сторонами а, с и угла у со сторонами а, b. Объединение этих трех углов и называется трехгранным углом (или, короче, трехгранным углом О). Лучи а, b, с называются ребрами трехгранного угла а плоские углы — его гранями. Точка О называется вершиной трехгранного угла.

Рис. 5.1

При каждом из ребер трехгранного угла определяется соответствующий двугранный угол такой, ребро которого содержит соответствующее ребро трехгранного угла, а грани которого содержат грани трехгранного угла, прилежащие к этому ребру.

Величины двугранных углов трехгранного угла при ребрах а, b, с будем соответственно обозначать через a, b, с.

Рис. 5.2

Три грани трехгранного угла и три его двугранных угла при ребрах а, b, С, а также величины и а, b, с будем называть элементами трехгранного угла. (Вспомните, что элементы плоского треугольника — это его стороны и его углы.)

Наша задача — выразить одни элементы трехгранного угла через другие его элементы, т.е. построить "тригонометрию" трехгранных углов.