9.2. Правильная пирамида.

Напомним, что пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник и все боковые ребра равны. Поэтому все боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники с вершиной в вершине пирамиды. Напомним, что правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр — не одно и то же. Правильный

Рис. 9.3

тетраэдр является правильной треугольной пирамидой, но не наоборот!

Согласно данному определению правильной пирамиды, о любой пирамиде по ее внешнему виду можно судить, правильная она или нет: достаточно произвести необходимые измерения на ее гранях. Но это определение не удобно при построении правильных пирамид. Найти простой способ построения правильной пирамиды поможет нам следующая теорема о характерном свойстве правильной пирамиды.

Теорема (о правильной пирамиде). Пирамида является правильной тогда и только тогда, когда ее основание — правильный многоугольник, а вершина проектируется в центр основания.

Рис. 9.4

Пусть Т — правильная пирамида с вершиной Р и основанием F. Опустим из точки Р перпендикуляр PQ на плоскость а основания F. Возьмем любые две вершины А и В основания F и проведем отрезки QA и QB; получим прямоугольные треугольники PQA и PQB (рис. 9.4). Эти треугольники равны, так как они имеют равные гипотенузы РА и РВ и общий катет PQ. Следовательно, равны их другие катеты, т. е. Итак, проекция вершины Р пирамиды Т на

плоскость — равноудалена от всех вершин правильного многоугольника F. Поэтому Q является центром многоугольника

Итак, доказано, что вершина правильной пирамиды проектируется в центр ее основания.

Рассмотрим теперь пирамиду Т, основание которой — правильный многоугольник F и вершина которой Р проектируется в его центр — точку Q. Снова берем две произвольные вершины А и В основания F и рассматриваем прямоугольные треугольники PQA и PQB. Теперь в этих треугольниках общий катет PQ и равные катеты QA и QB (поскольку Q — центр правильного многоугольника F). Следовательно, опять . Поэтому Значит все боковые ребра пирамиды Т равны, т. е. пирамида Т — правильная.

Доказанная теорема показывает, что правильную пирамиду можно определить как такую пирамиду, у которой основание — правильный многоугольник и вершина проектируется в его центр.

Теперь ясно, как построить правильную пирамиду. Надо взять правильный многоугольник F и из его центра Q провести какой-нибудь перпендикуляр QP к плоскости многоугольника F. Точка Р будет вершиной правильной пирамиды, а многоугольник F — основанием этой пирамиды. Изображая правильную пирамиду, обычно, плоскость ее основания считают горизонтальной, а высоту QP — вертикальной.