§ 2. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

2.1. Перпендикуляры и наклонные к плоскости.

Представление о прямых или, вернее, об отрезках, перпендикулярных плоскости, дают вертикально стоящие

Рис. 2.1

Рис. 2.2

столбы и мачты (они перпендикулярны поверхности земли или палубе), натянутый шнур, на котором висит лампа (он перпендикулярен потолку). Нижний край двери перпендикулярен косяку при всех положениях двери (рис. 2.1). Этим свойством и определяется перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она пересекает эту плоскость и перпендикулярна ко всякой прямой в этой плоскости, проходящей через точку пересечения (рис. 2.2).

Говорят также, что плоскость перпендикулярна прямой или, что они взаимно перпендикулярны. Для взаимно перпендикулярных прямой а и плоскости а применяются обозначения или .

Отрезок или луч перпендикулярен плоскости, если он лежит на прямой, перпендикулярной этой плоскости.

Если отрезок перпендикулярен плоскости и его конец лежит в этой плоскости, то он называется перпендикуляром к данной плоскости. Отрезок же, имеющий с плоскостью одну общую точку — конец отрезка, но не перпендикулярный данной плоскости, называется наклонной к плоскости.

Рис. 2.3

Пусть из одной точки А, не лежащей в плоскости а, проведены перпендикуляр АВ и наклонная АС (рис. 2.3). Отрезок ВС называется проекцией наклонной АС на плоскость a, а точка В — проекцией точки А на плоскость a. Угол АСВ называется углом между прямой АС (или наклонной АС) и плоскостью а. Угол же между перпендикуляром и плоскостью полагается равным 90°.

Перпендикуляр АВ короче наклонной АС, т.е. .

Действительно, в прямоугольном треугольнике ABC катет АВ короче гипотенузы АС. Итак, перпендикуляр

короче наклонной, если они проведены из одной и той же точки к одной плоскости.

Это можно сказать и так: перпендикуляр АВ из точки А на плоскость а — кратчайший из отрезков, соединяющих точку А с точками плоскости а. А основание перпендикуляра АВ — точка В — является ближайшей точкой плоскости а к точке А.

Свойство перпендикуляра быть кратчайшим отрезком является характерным свойством. Это значит, что справедливо и обратное утверждение: если АВ — кратчайший отрезок, идущий из точки А до плоскости а, то АВ — перпендикуляр к плоскости а.

Докажем это методом "от противного". Допустим, что АВ не перпендикуляр к плоскости а. Тогда через точку В в плоскости проходит прямая а, не перпендикулярная к АВ (рис. 2.4). Опустим из точки А перпендикуляр AM на прямую а. В прямоугольном треугольнике АВМ катет AM меньше гипотенузы АВ. Но тогда отрезок АВ не будет кратчайшим из всех отрезков, идущих из точки А до плоскости а.

Рис. 2.4

Получили противоречие. Следовательно, .

Установленное характерное свойство подсказывает, как через точку А, не лежащую в плоскости а, провести прямую, перпендикулярную к а: надо взять в плоскости а точку В, ближайшую к точке А, и провести прямую АВ. Она и будет перпендикулярна к плоскости а.

Перпендикуляр АВ, опущенный из точки А на плоскость а, единственный. Действительно, допустив, что существует еще один перпендикуляр AD, мы получим треугольник ABD, в котором два прямых угла, что невозможно.

Методом "от противного" можно доказать и единственность прямой, проходящей через данную точку А и перпендикулярной данной плоскости а. Допустим, что через точку А проходят две прямые b и С, перпендикулярные

плоскости а (рис. 2.5). Проведем через прямые b и С плоскость . Она пересечет плоскость а по некоторой прямой а. В плоскости Р обе прямые b и С будут перпендикулярны прямой а, что, как известно из планиметрии, невозможно. Поэтому пряная, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной плоскости, — единственная.

Рис. 2.5

Длиной перпендикуляра, опущенного из самой высокой точки предмета на его основание, измеряют высоту предмета. Так, высотой пирамиды называется длина перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на плоскость ее основания, а также сам перпендикуляр (рис. 2.6).

Рис. 2.6

Из минимального свойства перпендикуляра к плоскости вытекает и минимальное свойство угла между наклонной и ее проекцией, т.е. угла между наклонной и плоскостью. Оно состоит в следующем.

Пусть АС — наклонная к плоскости а из точки А, а ВС — проекция этой наклонной на плоскость а и . Проведем в плоскости а через точку С любую прямую d и обозначим через нетупой угол между АС и d (рис. 2.7). Тогда

Рис. 2.7

Действительно, если 90°, то это очевидно, поскольку угол АСВ — острый. Поэтому полагаем,

что . Опустим из точки А перпендикуляр AD на прямую d и рассмотрим прямоугольные треугольники АСВ и Так как то

Поскольку углы — острые, то из неравенства следует, что