10.5. Выпуклые тела.

Что такое выпуклое тело ясно из названия: это тело, являющееся выпуклой фигурой, т. е. такое тело, каждые две точки которого соединимы в нем отрезком. Важнейшие примеры выпуклых тел — шар, цилиндр вращения, конус вращения, тетраэдр, параллелепипед.

Мы расскажем здесь о некоторых интересных и важных свойствах тел, но не будем доказывать формулируемых теорем, хотя некоторые из них доказываются довольно просто, и вы сами могли бы их доказать.

Из определения выпуклого тела легко выводятся две теоремы, характеризующие выпуклые тела.

Теорема 1, Тело является выпуклым тогда и только тогда, когда каждый луч, исходящий из любой его внутренней точки, пересекает поверхность тела в единственной точке.

Наглядная иллюстрация теоремы такова: тело является выпуклым тогда и только тогда, когда из любой его внутренней точки можно видеть всю поверхность тела (рис. 10.14 а).

Иначе говоря, тело — "помещение" выпукло тогда и только тогда, когда в нем нет "закоулков", т. е. всю его поверхность можно "осветить" из любой его точки (рис. 10.14 б).

Теорема 2. Ограниченная фигура является выпуклым телом тогда и только тогда, когда у нее есть внутренние точки и каждая прямая, проходящая через внутренюю точку, пересекает фигуру по отрезку

Рис. 10.15

(рис. 10.15). (То, что граница принадлежит фигуре, гарантировано здесь тем, что каждый такой отрезок содержится в фигуре целиком, т. е. вместе с концами.)

Но, пожалуй, главной теоремой о выпуклых телах надо считать следующую:

Теорема 3. Тело выпукло тогда и только тогда, когда через каждую точку его границы проходит опорная плоскость.

Как всегда, выражение "тогда и только тогда" означает, что верны два взаимно обратных утверждения:

1) если тело выпукло, то через каждую точку его границы проходит опорная плоскость;

2) если у тела через каждую точку границы проходит опорная плоскость, то тело выпукло.

Теорема означает, что среди всех тел любое выпуклое тело характеризуется тем, что его можно опереть, скажем, о плоскость стола любой точкой поверхности. Именно по такому свойству и судят о выпуклости предмета (рис. 10.16). Ясно, что для невыпуклого тела это невозможно; у него на поверхности всегда найдутся точки, к которым не прикоснуться плоским предметом (рис. 10.17). С предыдущей теоремой связана следующая.

Рис. 10.16

Рис. 10.17

Теорема 4. Ограниченная фигура является выпуклым телом тогда и только тогда, когда она имеет внутренние точки и каждая не принадлежащая ей точка отделима от нее плоскостью, т. е. существует такая плоскость, что фигура и точка лежат с разных сторон от нее (рис. 10.18).

Рис. 10.16

Поскольку любую точку, не принадлежащую выпуклому телу, можно отделить от него плоскостью, то, значит, проводя плоскости, отделяющие от тела внешние точки, получим само тело. Иначе говоря, выпуклое тело можно вырезать из окружающего пространства плоскими разрезами, для невыпуклого тела это сделать нельзя.

На точном языке геометрии это значит, что из последней теоремы вытекает

Следствие. Выпуклое тело является пересечением полупространств. (Более того, выпуклое тело является пересечением полупространств, ограниченных его опорными плоскостями.)

И вместе с тем фигура с внутренними точками, являющаяся пересечением полупространств, представляет собою выпуклое тело.

Обратите внимание на то, что выпуклые поверхности — границы выпуклых тел — и выпуклые кривые — границы замкнутых выпуклых областей — выпуклыми фигурами не являются. Так, например, сфера — это выпуклая поверхность — граница шара, но сфера выпуклой фигурой не является. Точно так же, окружность — это выпуклая кривая, но не выпуклая фигура: внутренние точки хорд, соединяющие точки окружности, самой окружности не принадлежат.