22.4. Координаты вектора.
Координаты вектора в пространстве определяются так же, как на плоскости. А именно справедлива следующая теорема:
Теорема (о координатном представлении вектора). Пусть в пространстве введена прямоугольная система координат с единичными векторами I, j, к координатных осей X, у, z. Тогда каждый вектор v единственным образом представляется в виде
Числа 
называются координатами вектоpa v относительно векторов i, j, k, которые называются базисными векторами или, короче, базисом.
О Отложим вектор V от начала координат — точки О. Получим вектор 
Разложим его по координатным осям:
Так как 
по признаку параллельности векторов 
Аналогично 
Подставив эти выражения в (12), получим (11). Первое утверждение теоремы доказано. Докажем единственность координат 
вектора 
Допустим что, кроме разложения (11), имеется еще какое-нибудь разложение V по векторам i, j, k:
Тогда из (11) и (13) следует, что
Поэтому
Слева в равенстве (15) стоит вектор, параллельный оси X, т. е. перпендикулярный плоскости 
, а справа стоит вектор, параллельный плоскости 
Они могут быть равны лишь в случае, когда оба они нулевые. Поэтому 
, т.е. 
Аналогично 
Теорема полностью доказана.
На основании доказанной теоремы, если в пространстве введены координаты, каждый вектор V можно задавать его координатами 
и писать короче: 
вместо равенства (1) или
Как показывает следующая теорема, действия с векторами можно свести к аналогичным действиям с их координатами.
Теорема (о действиях с координатами векторов). При сложении векторов их соответствующие координаты складываются. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.
Пусть
и
Надо доказать, что
Действительно, из равенств (16) и (17) получаем, что
Значит, числа 
— координаты вектора с, т. е. имеют место равенства (18).
Докажем второе утверждение теоремы. Рассмотрим произведение 
Получим
Значит, числа 
— координаты вектора 
что и требовалось доказать.
Следствие. Векторы параллельны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.
Следствие вытекает из доказанной теоремы и признака параллельности векторов 
