29.4. Сохранение величин углов при инверсии.
Ясно, что инверсия не сохраняет расстояний между точками. Но, оказывается, что на плоскости инверсия сохраняет углы между кривыми. Нас интересует лишь случай углов между прямыми и окружностями. Угол между пересекающимися окружностями — это угол между касательными к ним прямыми в точках их пересечения (рис. 29.5). Аналогично определяется угол между окружностью и пересекающей ее прямой (рис. 29.6).
Докажем, что при инверсии углы сохраняются для случая пересекающихся прямых 
и q, не проходящих через центр инверсии — точку О (рис. 29.7). Остальные случаи сводятся к этому, так как, например, угол между
и q. Окружности 
пересекаются в точке О и еще в одной точке 
Поскольку углы между окружностями U и V в точках О и В равны, то будем рассматривать угол 
между ними в точке О. Касательные прямые 
в точке О к окружностям U и V параллельны соответственно прямым 
и q (докажите это!). Поэтому 