26.3. Теоремы о задании движений.

В этом пункте мы дадим ответ на такой вопрос: сколько пар соответствующих при движении точек надо задать, чтобы движение определилось ими однозначно? Мы дадим два ответа на этот вопрос. Первый из них содержит следующая теорема.

Теорема (о задании движения пространства). Пусть заданы два тетраэдра ABCD и ABCD, имеющие соответственно равные ребра (а, значит, и грани), т. е. выполняются равенства:

Тогда существует и притом единственное движение У, которое переводит тетраэдр ABCD в тетраэдр ABCD, т.е. такое, что

Сначала установим существование движения, о котором идет речь в теореме. Зададим два базиса в пространстве

и

(рис. 26.6).

Рис. 26.6

Из равенства (2), а также равенств углов

вытекает равенство скалярных произведений

для любых пар индексов

Возьмем теперь любую точку X и разложим вектор АХ по базису

По коэффициентам и базису построим вектор

и отложим его от точки А. Получим точку — конец вектора т. е.

Преобразование зададим, поставив точке X в соответствие точку Докажем, что f — движение. Возьмем еще некоторую точку Y и пусть

Если

то

Тогда

и

Если возвести в скалярный квадрат равенства (12) и (13), то получим суммы, в которых слагаемыми будут произведения

и

Поскольку выполняются равенства (6), то а потому для любых точек X, Y. Итак, доказано, что f — движение. Ясно, что .

Докажем теперь единственность такого движения. Допустим, что имеется еще некоторое движение g такое, что

Допустим, что хотя бы для одной точки X ее образы не совпадают. Поскольку/и g движения, то , а потому . Значит точка А равноудалена от точек X и а потому точка А лежит на плоскости а, перпендикулярной отрезку ХХ" и пересекающей его в середине. Точно также доказываем, что точки В, С, D лежат в плоскости а, т.е. все точки А, В, С, D лежат в одной плоскости. Но это противоречит тому, что они вершины тетраэдра. Поэтому допущение, что хотя бы для одной точки X ее образы X и X" не совпадают, ведет к противоречию. Итак,

Следствие (о тождественном движении). Движение, имеющее четыре неподвижные точки, не лежащие в одной плоскости, тождественное.