3.2. Параллельность и перпендикулярность.

Две теоремы о связи параллельности и перпендикулярности в пространстве мы уже доказали в п. 2.6: это теорема 4 о параллельности перпендикуляров и теорема 5 о параллели к перпендикуляру. Если в этих теоремах поменять местами слова "прямая" и "плоскость", то получим еще два предложения о соотношении параллельности и перпендикулярности в пространстве.

Предложение 7, (первый признак параллельности плоскостей). Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны (рис. 3.9).

Рис. 3.9

Действительно, такие плоскости не имеют общей точки. В противном случае мы пришли бы к противоречию с утверждением единственности в теореме 3 (п. 2.5).

Предложение 8. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой из них.

Рис. 3.10

Действительно, пусть плоскости параллельны и прямая (рис.3.10). Согласно предложению 2 (п. 3.1), прямая а пересекает и плоскость Р в некоторой точке В. Возьмем любую прямую b в плоскости Р, проходящую через точку В, и проведем плоскость у через прямые Плоскость у пересечет плоскость а по прямой q, параллельной прямой b (предложение 1 п. 3.1). Кроме того так как . Из соотношений для прямых а, b, q, лежащих в плоскости у , следует, что Поэтому (по определению перпендикулярности прямой и плоскости).