4.4. Вид и изображение шара и сферы.

Шар издали со всех сторон имеет вид круга — вспомните диск Солнца или полной Луны. Это выражено в следующем утверждении:

Проекция шара, как и сферы, есть круг того же радиуса. (Здесь и в дальнейшем, говоря просто "проекция", мы имеем в виду ортогональную проекцию на плоскость). Докажите это утверждение самостоятельно (рис. 4.11).

Рис. 4.11

В согласии с этим утверждением шар и сферу изображают в виде круга. При этом для того, чтобы не спутать это изображение с изображением круга, его можно подштриховать, но обычно рисуют проекцию какой-нибудь большой окружности, плоскость которой не перпендикулярна плоскости проекции; проекция эта будет, как мы знаем, эллипсом. Центр шара изобразится центром этого эллипса (рис. 4.12). Если взятая большая окружность принята за экватор, то можно отыскать соответствующие полюсы N и S, помня, что прямая, их соединяющая, перпендикулярна плоскости экватора. Типичная ошибка при изображении полюсов в том, что их рисуют на окружности, ограничивающей изображение шара (рис. 4.13). На самом же деле изображение точки N должно лежать ниже, а точки S — выше, т. е. так, как изображено на рисунке 4.12. Параллели также изображаются эллипсами.

Замечание. Оказывается, что свойство проекции шара, доказанное в этом пункте, позволяет судить о шарообразности реальных предметов. А именно, имеет место следующее утверждение:

Рис. 4.12

Рис. 4.13

Рис. 4.14

Если проекции фигуры на все плоскости — круги, то фигура эта — сфера в объединении с некоторым множеством внутренних точек. (В результате такого объединения может получиться как шар, так и его часть.) Доказательство этого утверждения сложно и выходит за рамки школьного курса.