22.6. Разложение векторов по базису.

Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями с векторами. А выражение

построенное по векторам — линейной комбинацией этих векторов с коэффициентами

Рис. 22.22

Задача, которую мы рассмотрим в этом пункте, формулируется так: сколько и каких векторов на прямой, на плоскости и в пространстве надо задать, чтобы в виде их линейной комбинации можно было однозначно представить любой из векторов на прямой, на плоскости и в пространстве? Система таких векторов, через которые однозначно выражаются остальные векторы, называется базисом (или аффинным базисом), соответственно на прямой, на плоскости и в пространстве. В п. 22.4 мы уже рассматривали базисы, состоящие из единичных и взаимно перпендикулярных векторов. Здесь эта задача рассматривается в общем виде. Порядок векторов в базисе считается заданным.

1. Базисом на прямой является любой ненулевой вектор.

Действительно, пусть даны прямая и ненулевой вектор а (рис. 22.22). Тогда по теореме о коллинеарных векторах (п.22.3) любой вектор представляется в виде

Такое представление единственно (по свойству 4 п.22.3)).

2. Базисом на плоскости является любая пара неколлинеарных векторов.

Действительно, пусть на плоскости а заданы любые два неколлинеарные векторы а, b. Проведем в плоскости а любые прямые а, b, параллельные соответственно векторам а, b (рис. 22.23).

Любой вектор плоскости V можно разложить на составляющие по прямым а, b (см. п. 22.2):

Рис. 22.23

Так как то по теореме о коллинеарных векторах v Аналогично Подставляя эти выражения в (22), получаем искомое представление вектора V через

Докажем, что такое представление единственно. Допустим, что кроме (23) вектору допускает еще одно аналогичное представление:

Из (23) и (24) следует равенство

которое, поскольку вектор а непараллелен вектору b, возможно лишь в случае, когда Итак, , т. е. непараллельные векторы а, b являются базисом на плоскости а.

3. Базисом в пространстве является любая тройка некомпланарных векторов.

Возьмем любую тройку некомпланарных векторов а, b, С и через точку О проведем параллельные им прямые а, b, с. Любой вектор v можно разложить на составляющие по прямым а, b, С (см. п. 22.2):

Так как , то

Поэтому

Единственность представления (26) доказывается также, как и в случае векторов на плоскости.

Справедливы утверждения, обратные трем доказанным. А именно:

1) любой базис на прямой состоит из одного ненулевого вектора;

2) любой базис на плоскости состоит из двух неколлинеарных векторов;

3) любой базис в пространстве состоит из трех некомпланарных векторов.

Справедливость этих утверждений опирается на однозначность представления вектора в виде линейной комбинации базисных векторов.

Из этого сразу следует, что среди базисных векторов не может быть нуль-вектора, так как такой вектор можно прибавлять к линейной комбинации с любым коэффициентом, не меняя ее.

Допустим теперь, что базис на прямой состоит из двух ненулевых векторов Тогда любой вектор V на прямой можно представить в виде , т.е. представление вектора V через пару векторов неоднозначно. Поэтому на прямой любой базис состоит из одного ненулевого вектора.

По аналогии с проведенным рассуждением объясните теперь, почему одного вектора на плоскости для базиса мало, а трех векторов много. В пространстве же двух векторов для базиса мало, а четырех много.

То, что число векторов в базисе на прямой, на плоскости и в пространстве равно соответственно единице, двум и трем позволяет определить размерность прямой, плоскости и пространства: прямая — одномерна, плоскость — двумерна, пространство — трехмерно.

Базисы, базисные векторы которых единичны и взаимно перпендикулярны, называются ортонормированными. Векторы в этих базисах обозначаются обычно

к. Именно такой базис мы рассматривали в п.п. 22.4, 22.5.

Числовые коэффициены, которые стоят в правых частях равенств (21), (23), (26), выражающих вектор V на прямой, на плоскости и пространстве через базисные векторы, называются координатами вектора v в данном базисе. На прямой вектор имеет одну координату, на плоскости — две, в пространстве — три. О координатах вектора в ортонормированном базисе уже шла речь в п. 22.4. Как и там в теореме о действиях с координатами, можно доказать, что при сложении векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении вектора на число они умножаются на это число. Повторите соответствующие доказательства в рассматриваемом общем случае.