§ 27. КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ ПРОСТРАНСТВА
27.1. Движения первого рода, имеющие неподвижную точку.
Теорема. Любое движение пространства первого рода, имеющее неподвижную точку, является поворотом вокруг прямой.
Пусть О — неподвижная точка движения первого рода f. Возьмем любую точку 
и любую точку В, не лежащую на прямой ОА, и пусть 
Как установлено при доказательстве теоремы 
треугольник ОАВ можно перевести в равный ему треугольник 
композицией двух отражений в плоскостях 
, относительно которых симметричны пары точек А и А (для а) и 
(для 
). По теореме подвижности пространства 
. Если плоскости 
совпадают, то 
тождественное преобразование, т. е. f — тождественный поворот. Если же 
различные плоскости, то они пересекаются по некоторой прямой а (так как имеют общую точку О). В этом случае композиция 
является поворотом вокруг прямой а, т. е. 
является таким поворотом.
