ГЛАВА 5. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ
Содержание первых четырех глав было известно и геометрам Древней Греции, хотя некоторым теоремам (например, теореме о трех перпендикулярах) мы дали современные обобщения. И доказывали эти теоремы мы, чаще всего, методами классической элементарной геометрии, хотя иногда (например, в теории объемов) мы применяли и методы современной математики — дифференциальное и интегральное исчисление.
Начиная с этой главы, мы рассказываем о таких разделах геометрии и таких ее методах, которые появились значительно позднее — в XVII-XX вв. В этой главе пойдет речь о координатном и векторном методах, а в следующей — о методе геометрических преобразований. Эти методы геометрии нашли применение в технике и в естественных науках, прежде всего в физике, да и появились они во многом благодаря решению задач физики и техники.
§ 18. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
18.1. Определение прямоугольных координат.
Координатами вообще называют числа, определяющие положение точки. Впервые вы, вероятно, услышали слово "координаты" на уроке географии, когда вам рассказывали о широте и долготе, затем координаты появились и в математике — на плоскости (рис. 18.1).
В науке и в практике пользуются разными координатами или, как говорят,
Рис. 18.1
Рис. 18.2
системами координат. Самые употребительные и на плоскости, и в пространстве — прямоугольные координаты. Их называют также декартовыми координатами по имени Рене Декарта (1596-1650) - французского ученого и философа, впервые введшего координаты в геометрии (на плоскости). Заметим, что географические координаты употреблялись раньше.
На плоскости и на других поверхностях положение точки определяется двумя координатами. В пространстве к двум координатам присоединяется третья. Декартовы координаты в пространстве определяются так.
Возьмем в пространстве три взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке О (рис. 18.2). На каждой из этих прямых введем координату с началом в точке О. На одной из этих прямых координату обозначим 
на другой — у, на третьей — z. Эти прямые называют осями координат: ось x, ось у, ось z. Произвольной точке М пространства сопоставляются координаты следующим образом. Точка М проектируется на оси, и за ее координаты принимаются координаты ее проекций. Итак, координата 
точки М — это координата ее проекции 
на ось X на этой оси. Аналогично определяются координаты у и z.
Координаты точки записываются вслед за обозначением точки: 
. Нередко точку обозначают просто ее координатами: 
