2.9. Ортогональное проектирование.
Мы постоянно встречаемся с различными способами проектирования (или, как еще говорят, проецирования) как в математике, так и в быту: оно применяется при изображении пространственных фигур на плоскости, в частности, при фотографировании и в кино; тени от предметов являются их проекциями; на проектировании основано введение координат как на плоскости, так и в пространстве, изготовление чертежей, планов и т.д. Об одном из способов проектирования — параллельном проектировании — уже говорилось в п. 1.9. Сейчас мы рассмотрим самый простой, но наиболее важный из способов проектирования в пространстве — ортогональное проектирование "ортогональный” в переводе и значит — "прямоугольный"). В этом пункте мы будем говорить просто о проектировании, имея в виду ортогональное проектирование.
О проекции точки и проекции наклонной на плоскость уже говорилось в п. 2.1.
Рис. 2.32
Проекцией же фигуры F на плоскость а называется фигура F, состоящая из проекций всех точек фигуры F на эту плоскость а (рис. 2.32).
Преобразование фигуры F, сопоставляющее каждой точке X фигуры F ее проекцию 
называется проектированием (или проецированием) фигуры F на
Рис. 2.33
плоскость а.
Поскольку все прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны друг другу, то ортогональное проектирование 
на плоскость является частным случаем параллельного проектирования и обладает всеми свойствами параллельного проектирования.
Кроме точек и отрезков, рисуя изображения сферы, цилиндра или конуса, мы будем встречаться с проекцией окружности на плоскость (когда плоскость окружности не перпендикулярна и не параллельна плоскости проекции). Кривая, которая является проекцией окружности в этом случае, называется эллипсом (рис. 2.33). Эллипсом является и параллельная проекция окружности на плоскость (если направление проектирования не параллельно плоскости окружности). Окружность является частным случаем эллипса. Эллипсы обладают многими замечательными свойствами. Эллипс имеет центр симметрии и две взаимно перпендикулярные оси симметрии. По эллипсам (эллиптическим орбитам) двигаются планеты вокруг Солнца. Солнце, однако, находится не в центре эллипса — орбиты планеты, а в точке, называемой фокусом эллипса.
Ортогональное проектирование на одну, две и три плоскости широко используется в технике, в черчении. Изображение предмета в проекциях позволяет судить о его устройстве, без чего часто невозможно ни конструирование предмета, ни его изготовление.
В дальнейшем, говоря "проекция" или "проектирование", мы имеем в виду ортогональное проектирование и ортогональную проекцию, если нет специальных оговорок.
На ортогональном проектировании основан такой важный для инженеров раздел прикладной математики, как начертательная геометрия. Начертательная геометрия была создана знаменитым французским математиком Гаспаром Монжем (1746—1818). В ее основе лежит идея о том, что положение любой точки пространства
Рис. 2.34
Рис. 2.35
Рис. 2.36
можно задать ее ортогональными проекциями на две взаимно перпендикулярные плоскости 
(рис. 2.34).
Повернем плоскость а, вокруг прямой x пересечения плоскостей 
в направлении, указанном на рисунке 2. 34, до совпадения с плоскостью 
После такого поворота обе плоскости изобразятся на одном и том же чертеже, называемом эпюром (рис. 2.35).
Прямая X называется осью проекции. Плоскости а, и 
разбивают все пространство на четыре четверти — квадранта. В зависимости от того, в каком квадранте лежит точка А, изображения ее проекций 
на эпюре находятся выше или ниже оси проекции (рис. 2.36), причем всегда отрезок 
перпендикулярен прямой x.
Ясно, что если на эпюре заданы изображения 
проекций точки А, то они однозначно определяют положение точки А в пространстве.
Тем самым метод Монжа дает возможность строить эпюр по данной фигуре и, наоборот, восстановить фигуру по ее изображению на эпюре. Сам Монж так определял предмет начертательной геометрии:
Начертательная геометрия преследует две цели: во-первых, дать методы для изображения на листе чертежа, имеющего только два измерения, а именно длину и ширину, любых тел природы, имеющих три измерения — длину, ширину и высоту, при условии, однако, что эти тела могут быть точно заданы.
Во-вторых, дать способ на основании точного изображения определять формы тел и выводить все закономерности, вытекающие из их формы и взаимного расположения.
Г. Монж был не только геометром, но и общественным деятелем в период французской буржуазной революции. Он был морским министром и организатором национальной обороны, одним из создателей Политехнической школы в Париже.
