Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИЗАДАЧИ К §18—20Методом координат можно решать вполне традиционные геометрические задачи, в формулировках которых вовсе отсутствует даже упоминание о координатах. Вот несложный тому пример. 5.1. Дан куб
Рис. Р 3.87 Выберем такую систему координат. Начало ее в точке А, луч AD — положительное направление оси
Чтобы решить систему с тремя переменными, обычно достаточно трех уравнений (?). Составим такую систему
Решив ее, получим, что Итак, центр находится в точке (1;1,5;1,5). Но тогда Конечно, такой способ может показаться скучноватым по сравнению с "чисто" геометрическим решением (кстати, а какое оно?). Но тот, кто уверен в своих умениях проводить длинные выкладки, может смело ему доверять. 5.2. Что из себя представляет фигура, каждая точка которой равноудалена от плоскости Вопрос на первый взгляд не вполне ясен. На самом деле требуется вот что: получив уравнение этой фигуры, узнать в нем какую-либо известную фигуру — плоскость, шар и т.д. или, если это не получилось, анализируя это уравнение, попытаться получить некоторое представление о свойствах фигуры. Приступим. Сначала надо получить уравнение этой фигуры. Прежде всего, выразим в координатах исходные данные. Для этого выберем произвольную точку
Итак,
Упрощая это уравнение, придем к такому равенству:
Первое, что напрашивается сделать теперь — это избавиться от модуля. Здесь это возможно, ибо То, что за ним "скрывается" не плоскость и не сфера — понятно (?). Но что? Какая фигура? С какими свойствами? Начинаем исследование полученного уравнения. Прежде всего, мы обратим внимание на то, что переменные х и у находятся в четной степени (в квадрате), а потому при смене знака каждого из них на противоположный ничего в уравнении не изменится. Для фигуры, которая "скрылась" за этим уравнением, сие обстоятельство означает симметрию относительно осей х и у, а также относительно плоскостей Ясно, далее, что Попробуем теперь разобраться в сечениях этой фигуры, хотя бы самых простых. Возьмем сначала сечение плоскостью, параллельной плоскости Пойдем дальше и рассмотрим сечения, параллельные другим координатным плоскостям. Пусть, например,
Узнаете параболу в плоскости Такую фигуру можно представить как результат вращения некоторой!?) параболы вокруг оси
Рис. Р 3.88 И вот еще что. Логика наших рассуждений была такой. Мы доказали, что всякая точка фигуры удовлетворяет некоему уравнению, после чего шел анализ уравнения. Но откуда мы знаем, что в это уравнение не попали "лишние" точки? Иначе говоря, необходимо показать, что для всякой точки, координаты которой удовлетворяют уравнению, выполняется равенство, заданное условием, то есть расстояние от нее до плоскости 5.3. Сколько решений имеет уравнение
На первый взгляд мы имеем дело с задачей по алгебре. Метод координат, однако, позволяет "увидеть" эту задачу как геометрическую. В самом деле, выражение Аналогично рассуждая, "видим", что выражение Таким образом, слева в исходном уравнении стоит сумма двух расстояний: Оно равно Если Если И, наконец, если Обратите внимание на то, что сами решения нам, согласно условию, не нужны. Именно поэтому координатный метод в данной задаче оказался эффективным. ЗАДАЧИ К §§ 21-245.4.
Запишем первое из этих равенств: Аналогично доказывается и второе равенство. Что же интересного в этой простой задаче? Для начала заметим, что в решении нам понадобился не весь параллелепипед, а только два его диагональных сечения. Эти диагональные сечения Кроме того, мы в решении нигде не использовали то обстоятельство, что задана неплоская фигура. Что из этого следует? А то, что данную задачу можно переформулировать как задачу планиметрии (?). Тем не менее, решение будет точно таким же.
Рис. Р 3.89 Вот это и стоит запомнить. Именно: при решении задач векторным способом может оказаться, что решение не зависит от размерности заданных фигур. Поэтому, решив векторным способом планиметрическую задачу, посмотрите, не проходит ли это же решение в пространстве. И наоборот.
Рис. Р 3.90 5.5. Докажите, что: а) диагонали параллелограмма пересекаются и в точке пересечения делятся пополам; б) диагонали параллелепипеда пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. а) Вам эта задача хорошо знакома из планиметрии; тем легче показать, как ее можно решить векторным методом. Пусть ABCD — параллелограмм (рис. Р 3.90). В плоскости ABC выберем базис из двух векторов, как-то связанных с данным параллелограммом. Можно в качестве базиса взять, например, векторы АВ и AD. Пусть X — общая точка двух диагоналей АС и BD данного параллелограмма. Ее принадлежность каждой из них запишем в векторном виде:
Для решения ее вектор АХ из каждого уравнения разложим в выбранном базисе. Во втором уравнении это уже сделано. Легко доводится до нужного вида и первое уравнение. Так как Но мы знаем, что разложение вектора в базисе единственно! Поэтому получаем систему: Таким образом, исходная система имеет решение. Значит, общая точка диагоналей АС и BD существует. Далее, из того, что Задача решена. В решении аналогичных задач (на плоскости или в пространстве) этим методом всегда присутствуют такие моменты: 1. Выбор базиса (наиболее удобного для дальнейшей работы). 2. Выбор нужного нам "ключевого" вектора, который мы будем в этом базисе раскладывать двумя способами. 3. Получение двух разложений "ключевого" вектора. Сначала можно выражать его через любые векторы, но обязательно довести разложение до векторов базиса. 4. Составление и решение системы, связывающей неизвестные коэффициенты двух разложений векторов в базисе. 5. Проверка того, что полученные числовые значения для коэффициентов удовлетворяют наложенным на них условиям. 6. Окончательное истолкование полученных результатов, т. е. в безвекторной форме. Решите по указанной схеме задачу пункта б). 5.6. Пусть Как и во многих задачах, где заданы векторы, здесь можно обойтись без рисунка. Но надо сначала хорошо понять задачу. Что значит "найти точку", если мы не "привязываем" ее к той или иной геометрической фигуре? Одно из возможных толкований таково. Зафиксируем в пространстве одну точку — где угодно — (назовем ее полюсом) и неизвестную точку будем искать как конец вектора, отложенного от точки О. Но для этого потребуется все векторы, участвующие в задаче, выразить через векторы с началом в точке О. (Такая техника работы с векторами называется радиус-векторной.) Тогда:
и исходное равенство нуль-вектору суммы этих 8 векторов перепишется в виде Откуда Так как точки Перейдем к единственности такой точки X. Предположим, что их больше одной и пусть
Вычитая из первого равенства второе, мы запишем эту разность в таком виде
или чуть иначе
Но сумма в каждой скобке равна Поэтому задача о единственности решена положительно — найденная нами точка X действительно одна. Мы решили задачу чисто векторно, без всякого рисунка. Используя рисунок, мы могли бы ускорить дело. В самом деле, искомая точка "видна невооруженным глазом" — это точка пересечения диагоналей параллелепипеда !?). Использование векторов для доказательства единственности, видимо, — кратчайший путь к результату. Более того, при обобщении полученного факта, векторы незаменимы. В этом легко убедиться самим. 5.7. Даны три некомпланарных вектора а, b, с. Найдите числа Здесь нужно четко понимать терминологию. Некомпланарность трех векторов означает, что ни один из них не может быть представлен в виде линейной комбинации двух других. Иначе говоря, нет таких чисел а, и Аналогичное требование для векторов а и b. Нет таких чисел Прежде всего заметим, что вектор Если Если а Но тогда можно записать, что существует такое
Каждый из коэффициентов при векторах а, b, с в этом равенстве равен 0 — иначе мы получили бы, что хоть один из них является линейной комбинацией двух остальных, а это противоречит их некомпланарности (?). Отсюда получаем систему 5.8. Пусть Как методы алгебры и анализа помогают получать результаты в геометрии, вы, разумеется, знаете. Любопытно теперь посмотреть, как можно использовать скалярное произведение для решения задач, на первый взгляд очень далеких от геометрии. Начало решения совершенно неожиданно. Рассмотрим вектор
А про скалярное произведение мы знаем, что для него выполняется такое неравенство:
Но
И мы имеем, что
Отсюда
или
что и требовалось доказать. Любопытно также, что эта задача может быть решена и координатным способом с привлечением простейших геометрических представлений. Равенство Чтобы убедиться в этом, достаточно найти расстояние от начала координат до этой 5.9. Докажите, что для любых точек А, В, С, D выполниется равенство и эту задачу решим, ничего не рисуя. Выберем начало 0 и каждый вектор в левой части равенства запишем, как разность векторов с началом в точке 0. Тогда выражение
после упрощения дает 0, что и требовалось установить. Из доказанного равенства, например, вытекает, что если у тетраэдра ABCD две пары скрещивающихся ребер ортогональны, то и третья пара ребер ортогональна. 5.10. В кубе В качестве базиса выберем векторы AD, АВ, АА, (рис. Р 3.91) и все необходимые векторы будем раскладывать по этому базису. а) Сначала формула для вычисления расстояния:
Рис. Р 3.91 Далее, разложение вектора XY по выбранному базису:
Тогда
Поэтому б) Запишем формулу для угла
Про вектор XY мы знаем и разложение его по базису:
и его длину:
Для вектора
Поэтому угол а между XY и
Итак, прямые XY и в) Выкладки, аналогичные предыдущим, покажут, что прямые XY и Из результатов пунктов б) и в) следует, что XY — общий перпендикуляр прямых Выберите три точки с конкретными координатами. Составьте уравнение плоскости, проходящей через эти точки. Пусть даны три точки: Первый путь. Пишем уравнение плоскости в виде
Подставим в это уравнение координаты всех данных точек. Получим систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными: А, В, С, D. Для ее решения один из неизвестных коэффициентов (скажем Второй путь векторный. Пусть точка
(Можно было выразить LT или МТ через оставшиеся векторы. Здесь надо быть аккуратным и проверить, что два вектора, через которые мы выражаем третий, действительно образуют базис плоскости. Как это сделать?) Запишем координаты векторов. Если О — начало координат, то
значит,
Перепишем равенство (1) в координатном виде:
Отсюда получим
Выразим
Подставим полученные значения Это и будет искомое уравнение плоскости. 5.12. Найдите расстояние между параллельными плоскостями Как и всякую задачу о фигурах, заданных уравнениями, ее можно решить, не прибегая к рисунку. Попробуйте отыскать такое решение — это не просто. Мы же разберемся с этой задачей, используя рисунок (рис. Р 3.92).
Рис. Р 3.92 Обозначим первую плоскость а, отметим на осях координат точки, в которых они пересекают плоскость а , назовем их А, В, С. (Для нахождения абсциссы точки А достаточно в уравнении плоскости а положить Получим Обозначим вторую плоскость Р и проделаем для нее то же, что и для плоскости а — получим точки (Треугольники ABC и KLM называются "треугольниками следов" для плоскостей Расстояние между параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра, причем он может быть проведен из любой точки одной их них на другую. Здесь удобно провести перпендикуляр из точки С на плоскость KLM. Обозначим его CD (причем рисовать его не будем, рассчитывая на ваше пространственное мышление). Тогда Единичный вектор к оси z имеет координаты Тогда
Окончательно,
|
1 |
Оглавление
|