28.3. Свойства подобия.

Во-первых, докажем, что подобие с коэффициентом к есть композиция гомотетии с коэффициентом к и движения.

Пусть фигура F получена из фигуры F подобием коэффициентом к (рис. 28.7). Гомотетией с любым центром О переведем фигуру F в фигуру Тогда любым точкам X, Y фигуры F ставятся в соответствие такие точки что

Но и для точек также . Это равенство верно для любых точек фигуры . Следовательно, фигуры и F равны, а потому F можно получить из некоторым движением Поскольку то Итак,

Теперь, зная свойства движений и свойства гомотетий, получаем как следствия соответствующих свойств такие свойства подобий.

Свойство 1. Подобие отрезок переводит в отрезок.

Свойство 2. Подобие сохраняет величины углов.

Свойство 3. Подобие переводит прямые в прямые, плоскости — в плоскости, а также сохраняет отношения параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей.

Свойство 4. В результате подобия с коэффициентом k площади фигур умножаются на а объемы — на

Действительно, площади фигур выражаются как произведения длин двух отрезков. При подобии длины умножают на k, а потому площади умножаются на . Аналогично, объемы выражаются через произведения длин трех отрезков. Поэтому при подобии объемы умножаются на

Из определения подобия непосредственно вытекают такие два свойства:

Свойство 5. Подобие обратимо и преобразование, обратное подобию с коэффициентом k, есть подобие с коэффициентом

Свойство 6. Композиция подобий с коэффициентами к, и является подобием с коэффициентом