§ 14. ОБЪЕМ ПРЯМОГО ЦИЛИНДРА

Из всех рассмотренных нами тел проще всего устроен прямой цилиндр. Чтобы задать такой цилиндр С надо задать его основание Q и его высоту Н (рис. 14.1). И, по-видимому, всем ясно, что его объем V тогда будет равен произведению площади S его основания на высоту Н, т. е.

Убедимся в справедливости этой формулы.

14.1. Объем прямоугольного параллелепипеда.

Формулу (1) для простейших прямых цилиндров — прямоугольных параллелепипедов и кубов — вы знаете с первых классов. И там вы выводили ее, например, для прямоугольного параллелепипеда, длина основания которого была а, ширина основания была b, а высота параллелепипеда была С. Конечно,

Рис. 14.1

там эти а, b, С были конкретными натуральными числами, например, (рис. 14.2). И вывод формулы (1) состоял в том, что вы из единичных кубиков (т. е. из кубиков с ребром, равным единице длины) складывали этот параллелепипед: он составлялся из С слоев, в каждом слое было кубиков. Объем единичного куба принимался за единицу. А тогда объем V параллелепипеда будет равен abc, т. е. V = SH, поскольку

Рис. 14.2

Итак, формула (1) для параллелепипеда, у которого ребра измеряются натуральными числами, верна.

Для рациональных чисел а, b, С всегда можно выбрать такие натуральные числа , что и измерять его объем кубиками, длины ребер которых равны . Единичный куб можно сложить из таких кубиков (рис. 14.3), т. е. объем каждого из них равен . Данный же параллелепипед можно сложить из таких кубиков, т.е. его объем

Итак, формула (1) верна и в этом случае.

Рис. 14.3

Наконец, если среди чисел а, b, c есть иррациональные числа, то приближаем такие числа последовательностями рациональных чисел (выбирая

Рис. 14.4

Рис. 14.5

Рис. 14.6

Рис. 14.7

приближения с недостатком) и "исчерпываем" данный параллелепипед Р параллелепипедами со сторонами (рис. 14.4). В итоге снова приходим к равенству (1).