24.4. Некоторые теоремы о треугольниках и тетраэдрах.

Применим формулы, выведенные в предыдущем пункте, для решения нескольких задач о треугольниках, расположенных в пространстве, и тетраэдров. Сначала докажем векторным методом известную вам теорему о точке пересечения медиан треугольника.

Выберем начало О, не лежащее в плоскости треугольника ABC, и положим , где точки К и L — середины сторон АВ и АС (рис. 24.6). Тогда

Рис. 24.6

Пусть точка М — точка пересечения медиан BL и СК. Поскольку точка М лежит на отрезке BL, то для ее радиус-вектора выполняется равенство

Аналогично, так как М лежит на отрезке СК, то

Из (13), (14) и (15) следует, что

Поскольку векторы некомпланарны и образуют в пространстве базис, числовые коэффициенты при этих векторах справа и слева в равестве (16) соответственно равны:

Итак, радиус-вектор точки пересечения медиан BL и СК выражается равенством

т. е., он равен одной трети суммы радиус-векторов, идущих в вершины треугольника. Если теперь повторить проведенный вывод для медианы BL и медианы AN из вершины А, то придем к тому же результату (18). Поэтому все три медианы треугольника проходят через точку М, радиус-вектор которой определяется равенством (18).

Проверьте, что формула (18) верна и для точки О, лежащей в плоскости треугольника

Равенства означают, что точка пересечения медиан треугольника отсекает на них отрезки, равные самих этих медиан (считая от вершин треугольника). Это же можно выразить и так: точка пересечения медиан делит их на отрезки, относящиеся как считая от вершин треугольника.

Напомним, что точку пересечения медиан треугольника называют его центром тяжести, или центром масс, или центроидом.

Обратимся теперь к тетраэдру ABCD — пространственному аналогу треугольника ABC. Рассмотрим отрезки DM и CQ, соединяющие вершины D и С тетраэдра с центроидами М и Q, противоположных этим вершинам

граней тетраэдра (рис. 24.7). Отрезки DM и CQ пересекаются в некоторой точке Р, поскольку они лежат в треугольнике CDK, где точка К — середина ребра АВ.

Рис. 24.7

Выразим сначала радиус-вектор ГР через радиус-векторы точек С, D, К, считая, что точка О не лежит в плоскости

Для радиус-вектора точки Р как точки отрезка DM имеем:

Аналогично, поскольку , то

Поэтому

    (21)

Учитывая, что а также, что получаем

Подставив из (22) в (21), получим

Поскольку векторы некомпланарны и образуют в пространстве базис, числовые коэффициенты при этих векторах справа и слева в равенстве (23) соответственно равны, т. е.

Из (24) получаем, что

Тогда из (18) и (19) следует, что

Если теперь находить точку пересечения любых двух из отрезков, соединяющих в тетраэдре ABCD вершину с центроидом противоположной грани, то радиус-вектор такой точки пересечения определится формулой (26). Следовательно, все эти отрезки пересекаются в точке Р, которая называется центроидом тетраэдра (или его центром тяжести, или его центром масс). Отношение отрезков, на которые разбивает отрезки точка Р равно считая от вершин тетраэдров.

Центроид тетраэдра обладает и другими интересными свойствами. Через него, например, проходят все отрезки, соединяющие середины скрещивающихся ребер тетраэдра (их можно назвать средними линиями тетраэдра), и делятся им пополам (рис. 24.8).

Рис. 24.8

Действительно, пусть точка К — середина ребра АВ тетраэдра ABCD, а точка S — середина его ребра DC. Тогда радиус-вектор середины отрезка АВ выражается равенством

а радиус-вектор середины S ребра CD — равенством

Следовательно, середина отрезка KS имеет радиус-вектор, равный полусумме векторов т. е. вектор этим радиус-вектором и задается центроид Р тетраэдра ABCD.

Если мы рассмотрим пару средних линий тетраэдра ABCD (рис. 24.9), то мы увидим, что они являются диагоналями параллелограмма , плоскость которого параллельна скрещивающимся ребрам AD и ВС.

Рис. 24.9

Отметим, что выводы всех формул в этом пункте останутся в силе и тогда, когда точки А, В, С, D лежат в одной плоскости. Подумайте, какие теоремы планиметрии мы тогда получим.