11.6. Развертка выпуклого многогранника.
Мы можем теперь сформулировать условия, гарантирующие, что из данной развертки может быть склеен замкнутый выпуклый многогранник (здесь, говоря "многогранник", мы имеем в виду многогранную поверхность). Сначала уточним понятие развертки, введенное в п. 11.5.
Разверткой мы называем совокупность простых многоугольников с указанием правила склеивания их по сторонам. Склеивание двух отрезков означает, что между их точками устанавливается взаимно однозначное соответствие и соответствующие точки считаются уже за одну точку. Предполагается, что правило склеивания удовлетворяет следующим условиям:
1) склеиваемые отрезки всегда имеют равные длины;
2) любая сторона каждого из многоугольников развертки является стороной одного и только одного многоугольника (два многоугольника, имеющие общую сторону, называются смежными);
3) любые два многоугольника развертки Р и Q можно соединить цепочкой (конечной последовательностью) многоугольников, в которой каждый предыдущий многоугольник смежный с последующим, причем первый элемент этой цепочки — многоугольник Р;
4) если многоугольники имеют общую вершину, то выбор цепочки, связывающей эти многоугольники, можно осуществить так, чтобы все многоугольники этой цепочки имели общую вершину (рис. 11.37).
Так как мы хотим из развертки склеить выпуклый многогранник, то должны выполняться еще два необходимых условия:
5) число вершин 
, ребер (сторон) к и граней (многоугольников) 
должно удовлетворять формуле Эйлера: 
(при этом, конечно, вершины и ребра (стороны)
Рис. 11.37
многоугольников, подлежащие склеиванию, считаются одной вершиной и одним ребром развертки);
6) сумма плоских углов при каждой из вершин развертки должна быть меньше 360° (см. теорему п. 11.6).
Оказывается, что этих условий достаточно, чтобы из развертки можно было склеить выпуклый многогранник.
А именно, имеет место следующая теорема А.Д. Александрова:
Теорема. Из каждой развертки, удовлетворяющей перечисленным выше условиям 1—6, можно склеить единственный (с точностью до положения в пространстве) выпуклый многогранник.
Оговорка "с точностью до положения в пространстве" означает, что из двух одинаковых разверток склеиваются одинаковые (равные) выпуклые многогранники.
Рис. 11.38
Утверждение единственности в этой теореме в более слабой форме, касающееся лишь разверток, состоящих из целых граней многогранников, было доказано еще французским математиком Огюстом Коши в 1813 г. и формулируется следующим образом:
Теорема (Коши). Два замкнутых выпуклых многогранника, одинаково составленных из соответственно равных граней, равны.
Замечание. Легко привести примеры (рис. 11.38), показывающие, что если отказаться от требования выпуклости, то утверждение теоремы Коши не будет справедливым.
