13.3. Геометрические величины.

В определении объема сказано, что объем тела — это величина (точнее было бы сказать, скалярная величина, так как бывают и векторные величины — о них пойдет речь в главе 5). Что же такое величина? На этот вопрос кратко можно ответить так: величина — это то, что можно измерить. Или более подробно: величина — это такое свойство предмета или явления, которое может быть в каком-то смысле больше или меньше и которое можно точно оценить.

Точная оценка величины называется ее измерением. Измерение происходит в результате процесса сравнения величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. Процесс сравнения зависит от рода рассматриваемых величин: для расстояний он один, для объемов — другой, для масс — третий и т.д. В результате измерения

величина получает определенное численное значение при данной единице измерения.

Величины играют большую роль в науке, особенно в физике. Почти все законы физики выражают связи между теми или иными величинами. Сила, масса, скорость, температура и т.д. — вот примеры физических величин.

Геометрические величины — это свойства геометрических фигур, характеризующие их форму и размеры; это длина, площадь, объем, величина угла.

Длины, площади, объемы — все это примеры неотрицательных скалярных величин. Скалярные величины вполне определяются своими численными значениями при данной единице измерения. Для скалярных величин определяются отношения сравнения ("равно", "больше", "меньше”), сложение и умножение на действительные числа. При этом действия со скалярными величинами и их отношения равносильны таким же действиям и отношениям с их численными значениями. Никаких других свойств у скалярных величин не предполагается.

При этом надо иметь в виду следующее: так как для величин данного рода определены действия сложения и умножения на число, то определить можно не отдельную величину, а множество всех величин (любого) данного рода. Так приходим к следующему определению.

Множеством неотрицательных скалярных величин (некоторого рода) называется множество, для элементов которого выполняются следующие условия (аксиомы величины):

1. Любые два элемента (две величины) этого множества сравнимы (либо они равны, либо одна из них больше другой), т.е. в этом множестве введены отношения "равно" — ” = ", "больше” — ">" и "меньше" — "<" и для любых двух величин а и b либо а = b, либо а > b , либо а < b.

2. Величины можно складывать, т.е. каждым двум величинам а и b однозначно сопоставляется некоторая величина называемая их суммой.

3. Величины можно умножать на неотрицательные числа, т.е. каждой величине а и каждому числу однозначно сопоставляется некоторая величина — произведение а на а.

4. Каждую величину а можно измерить некоторой величиной , т. е. существует такое число что При этом , т. е. . Число называется численным значением величины а при единице .

5. Действия над величинами и их отношения равносильны аналогичным действиям и отношениям с их численными значениями, т.е. во-первых, или тогда и только тогда, когда соответственно или во-вторых, равенство равносильно равенству наконец, в-третьих, равенство а равносильно равенству