26.5. Два рода движений.

Снова возьмем два равных тетраэдра ABCD и рассмотрим два базиса (3) и (4) (рис. 26.6).

Могут представиться две возможности: 1) оба эти базиса имеют одинаковую ориентацию, т. е. тройки векторов либо обе правые, либо обе левые; 2) базисы имеют разную ориентацию.

В первом случае тетраэдр ABCD можно непрерывным движением перевести в тетраэдр ABCD: сначала переносом на вектор совместить ,

Рис. 26.10

затем поворотом совместить АВ с АВ (вокруг прямой, проходящей через А и перпендикулярной прямым АВ и АВ), и, наконец, поворотом вокруг АВ совместить треугольники ABC и АВС, а тем самым и тетраэдр ABCD с ABCD (рис. 26.10).

Во втором случае такое движение лишь переведет тетраэдр ABCD в тетраэдр симметричный тетраэдру относительно плоскости АВС (рис. 26.11). Чтобы завершить совмещение тетраэдров ABCD и ABCD надо применить еще симметрию относительно плоскости непрерывным движением во втором случае совместить нельзя.

Движения, соответствующие первому случаю, называются движениями первого рода, т. е. движения первого рода — это такие движения, которые сохраняют ориентацию базисов. Движения первого рода могут быть реализованы непрерывными движениями.

Рис. 26.11

Движения, соответствующие второму случаю, называются движениями второго рода, т. е. движения второго рода — это такие движения, которые изменяют ориентацию базисов на противоположную.

Движения второго рода не могут быть реализованы непрерывными движениями.

Перенос и поворот являются движениями первого рода: они реализуются непрерывными движениями. Зеркальная симметрия и центральная симметрия — это движения второго рода: они меняют ориентацию базисов.

Так как движения первого рода сохраняют ориентацию базисов, то композиция любого числа движений первого рода является движением первого рода.

Композиция движений второго рода может быть как движением первого рода (если берется композиция четного числа движений второго рода), так и движением второго рода (в случае, когда берется композиция нечетного числа движений второго рода).