22.2. Разложение вектора на составляющие.

Самолет пошел на посадку (рис. 22.11). Его перемещение состоит из двух составляющих: вертикальной и горизонтальной. Первая из них показывает насколько снизился самолет, вторая — насколько и в каком направлении он переместился над землей за время снижения.

Вес груза, висящего на треноге, разлагается вдоль ног треноги на три составляющие (рис. 22.12). Вес тела на наклонной плоскости разлагается на давление на плоскость и "скатывающую силу" вдоль плоскости (рис. 22.13).

Те векторы, сумма которых равна данному вектору, называются составляющими этого вектора. Он "составляется" из них, как сумма из слагаемых, и разлагается на

Рис. 22.11

них, как на слагаемые. Поэтому и говорят о разложении вектора на составляющие. Следует выделить три случая.

1) Разложение вектора в плоскости. Каждый вектор в плоскости разлагается, и притом единственным образом, на составляющие, коллинеарные двум данным пересекающимся прямым.

Пусть заданы две прямые а и b, пересекающиеся в точке О, и вектор V.

Рис. 22.12

Рис. 22.13

Отложим вектор V от точки О. Получим вектор OV = V (рис.22.14). В общем случае вектор OV не лежит ни на I одной из прямых а или b. Тогда проведем через точку V параллельные им прямые. Вместе с прямыми а, b они ограничат параллелограмм OAVB с диагональю OV. По правилу параллелограмма

Векторы и

Рис. 22.14

есть составляющие вектора V, лежащие на прямых а и b. (В дальнейшем говорим короче: составляющие по прямым а и b).

Если вектор OV лежит на одной из прямых а или b, то его составляющая по этой прямой — это он сам. А по другой прямой его составляющая равна нулю.

Итак, возможность разложения вектора V по прямым а и b доказана. Докажем единственность такого разложения.

Допустим, что имеются два разложения:

Тогда а потому

Вектор коллинеарен прямой а, а вектор коллинеарен прямой b. Поэтому равенство (5) возможно лишь в том случае, когда . Поэтому Значит, два разложения вектора V совпадают, а двух различных разложений быть не может.

2) Разложение вектора по прямой и плоскости. Пусть даны плоскость а и пересекающая ее прямая а. Возьмем какой-либо вектор V и отложим его от точки пересечения прямой а плоскостью а — точки (рис. 22.15). Пусть точка А — проекция точки V в направлении прямой а на плоскость а. Тогда

Рис. 22.15

Рис. 22.16

причем; . Поэтому векторы являются составляющими вектора V по прямой а и плоскости а. Единственность этого разложения доказывается аналогично доказательству единственности разложения в случае 1). Проведите это доказательство самостоятельно.

3) Разложение вектора по трем прямым. Каждый вектор допускает, и притом единственное, разложение на составляющие, не коллинеарные трем данным прямым, не параллельным одной плоскости.

Возьмем три прямые а, b, с, пересекающиеся в точке О и не лежащие в одной плоскости. Отложим от точки О данный вектор (рис. 22.16). Приняв плоскость, проходящую через прямые b и c, за плоскость а, разложим вектор V по прямой а и плоскости Составляющую разложим по прямым с. Получим . А тогда

т.е. получено искомое разложение вектора V по прямым а, b, с.

Единственность разложения вектора по трем прямым доказывается так. Допустим, имеются два разложения вектора V по трем прямым

Тогда векторы параллельны плоскости а. А тогда, согласно единственности разложения в случае 2) Но тогда, согласно единственности разложения вектора в плоскости по двум прямым, имеем, что . Единственность разложения вектора по трем прямым доказана. Разложение вектора по трем прямым не сводится к его разложению по двум прямым лишь тогда, когда точка V не лежит ни в одной из плоскостей, определяемых парами прямых . В этом случае построение составляющих сводится к построению параллелепипеда, диагональю которого является отрезок OV и ребра которого, идущие из точки О, лежат на прямых а, b, С.

Рис. 22.17

Рис. 22.18

Три плоскости граней этого параллелепипеда определяются тремя парами пересекающихся прямых: три другие плоскости его граней параллельны этим плоскостям и проходят через точку V (рис. 22.17).

Чаще всего мы будем раскладывать векторы по трем взаимно перпендикулярным прямым, которые являются осями прямоугольной системы координат. В этом случае параллелепипед, построенный по вектору v, с

ребрами на осях координат, окажется прямоугольным (рис. 22.18) или выродится в прямоугольник или отрезок.

Убедимся, что при сложении векторов их соответствующие составляющие (по прямой или плоскости) складываются.

Докажем эту теорему, например, для случая разложения вектора по прямой а и пересекающей ее плоскости а (для разложения по трем не параллельным одной плоскости прямым доказательство аналогично). Возьмем любые векторы u и v, и пусть вектор . Разложим векторы u, v и w на составляющие по прямой а и плоскости а:

Так как

то

Поскольку , то Аналогично Итак, векторы являются составляющими вектора w по прямой а и плоскости а. В силу единственности разложения на такие составляющие получаем, что , т. е. при сложении векторов их составляющие складываются.