23.5. Скалярное произведение и проекции.

Как говорилось в п. 22.2, при рассмотрении векторной величины нас может интересовать не столько она сама, сколько ее составляющая в некотором направлении. Такие составляющие находят проектированием на прямые и плоскости, чаще всего с помощью ортогонального проектирования. Только о таком проектировании на прямую здесь и пойдет речь.

Рис. 23.3

Если на прямой, на которую проектируется вектор, ввести координату, то составляющую вектора по этой прямой удобно задать числом.

Это число называется проекцией вектора на ось. Дадим его определение.

Пусть задана некоторая координатная ось х, т. е. прямая I, на которой выбрана точка О — начало координат, а также единичный вектор , задающий направление оси и масштаб (рис. 23.3).

Возьмем любой вектор V и отложим его от точки Спроектируем точку А на ось X. Получим

Рис. 23.4

точку В и составляющую ОВ вектора V по оси х. Длина отрезка ОВ со знаком "плюс", если , и со знаком "минус", если ОВ и называется проекцией вектора V на ось Обозначать проекцию вектора v на ось X будем так: (или так: ). Если то

Поскольку ОВ — катет прямоугольного треугольника ОАВ, то

где — угол между векторами V и (рис. 23.4а,б).

Так как то из (8) следует, что

Отметим, что в разложении произвольного вектора V по ортонормированному базису i, j, k, т.е. в сумме

слагаемые являются составляющими вектора V по осям , а числа х, у, z будут как координатами вектора V , так и его проекциями на оси координат. При этом

Проекции векторов постоянно встречаются на практике. Глядя на перемещающийся вдали предмет, мы видим не само перемещение, а его проекцию на направление,

Рис. 23.5

перпендикулярное лучу зрения. Насколько же предмет удаляется от нас или, напротив, приближается, показывает проекция на луч зрения. Знак проекции показывает удаление или приближение (считая, например, удаление положительным, а приближение отрицательным).

Совершенно так же мы видим не скорость движения тела, а ее проекцию, перпендикулярную лучу зрения. Проекция же на этот луч дает скорость удаления или приближения предмета.

Проекция вектора силы на данное направление показывает, можно сказать, насколько сила действует в данном направлении. Например, когда предмет толкают или тянут, важна проекция приложенной силы на направление движения (рис. 23.5). Точно так же при подъеме предмета важна "подъемная сила" — проекция приложенной силы на вертикальное направление.

Проекции скорости, силы и других векторных величин входят в целый ряд законов физики.