11.5. Многогранная поверхность и развертка.

Наряду с многогранниками рассматривают также многогранные поверхности — фигуры, составленные из многоугольников, которые прикладываются друг к другу сторонами (рис. 11.29). Это можно сравнить с тем, как ломаная составляется из отрезков: одни отрезки прикладываются к другим концами (рис. 11.30). Но у отрезка только два конца, а сторон у многоугольника много. Поэтому, когда многоугольник приложен к другому стороной, то остается не одна свободная сторона и возможностей приложить новые многоугольники много.

К той стороне, где уже приложен многоугольник, прикладывать другие не разрешается, так что многоугольники встречаются по сторонам только попарно. Но могут оставаться и свободные стороны (например, у поверхности куба с вынутой гранью, как коробка без крышки). Если свободных сторон не остается, поверхность называется замкнутой (подразумевается, что многоугольников конечное число).

Можно допускать, что многоугольники могут пересекаться, как могут пересекаться отрезки ломаной. Если этого не допускать, то замкнутая многогранная поверхность ограничивает многогранник. Но у произвольного многогранника граница может состоять из нескольких замкнутых многогранных поверхностей. Такой многогранник получается, когда из внутренности одного многогранника удалены внутренности одного или нескольких многогранников, так что получаются многогранники с полостями внутри.

Нередко многогранные поверхности называют многогранниками (например, в Большой советской энциклопедии многогранники определяются как замкнутые многогранные поверхности). Это делают и в быту, когда склеивают из бумаги или картона кубики, коробки или другие многогранники. Понятно, из бумаги или картона склеивается не куб — тело, а куб — многогранная поверхность. "Многогранники" — многогранные поверхности — склеивают из разверток.

Вообще разверткой многогранника — многогранной поверхности — называется совокупность многоугольников, для которой указано, как их нужно склеивать — прикладывать друг к другу по сторонам. Конечно, склеиваемые стороны должны быть равны, и нужно указывать, какой конец одной стороны должен совпадать с каким концом другой стороны.

При составлении — склеивании многогранной поверхности — многоугольники развертки могут "переламываться".

Не исключается, что многоугольник склеивается сам с собой, как в известной крестообразной развертке куба (рис. 11.31, здесь же нарисованы и другие примеры).

Рис. 11.31

Для того чтобы из данной развертки можно было бы склеить многогранник, она должна удовлетворять дополнительным условиям. Сейчас мы на них не останавливаемся. Но в п. 11.7 будут даны условия, которые обеспечивают возможность склеить из развертки замкнутый выпуклый многогранник. (Вообще, сказанное о развертках — это наглядное описание, хотя его можно превратить в точное математическое определение.) Заметим, что изучение разверток составляет важный вопрос геометрии не только в теории многогранников, но и в той области геометрии, которая называется топологией.

Реальное изготовление многогранников по их разверткам — дело интересное и не всегда простое. Английский учитель математики М. Вениджер посвятил ему целую книгу под названием "Модели многогранников" ("Мир"; М., 1974). Попробуйте склеить из разверток правильные и полуправильные многогранники (о них рассказывается в следующем параграфе).

11.6. Многогранные углы. Расширим класс многогранных поверхностей, включив в него многогранные углы. Мы уже знакомы с двугранными и трехгранными углами. Многогранный угол можно получить, продолжая ребра и грани, идущие из одной вершины какого-либо многогранника, например, из вершины пирамиды (рис. 11.32). Многогранные углы составляются из обычных углов (такие углы мы теперь часто будем называть плоскими углами), подобно тому, как замкнутая ломаная составляется из отрезков. А именно, дается следующее определение:

Многогранным углом называется фигура, образованная плоскими углами так, что выполнены условия:

1) никакие два угла не имеют общих точек, кроме их общей вершины или целой стороны;

2) у каждого из этих углов каждая его сторона является общей с одним и только одним другим таким углом;

3) от каждого угла к каждому можно перейти по углам, имеющим общие стороны;

4) никакие два угла с общей стороной не лежат в одной плоскости.

Рис. 11.32

При этих условиях плоские углы, образующие многогранный угол, называются его гранями, а их стороны — его ребрами.

Трехгранные углы мы рассматривали в § 5. Под данное определение подходит и двугранный угол. Он составлен из двух развернутых плоских углов. Вершиной его может считаться любая точка на его ребре, и эта точка разбивает ребро на два ребра, сходящиеся в вершине. Но ввиду этой неопределенности в положении вершины двугранный угол исключается из числа многогранных углов.

Если вы рассмотрите многогранные углы у разных многогранников, то обратите внимание, что грани многогранных углов могут быть и невыпуклыми.

Многогранный угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Ясно, что грани выпуклого многогранного угла выпуклы.

Подобно тому, как каждый треугольник является выпуклым многоугольником, так любой трехгранный угол с выпуклыми гранями является выпуклым многогранным углом. Такие трехгранные углы мы изучали в § 5. Но четырехгранные углы с выпуклыми гранями могут и не быть выпуклыми, подобно тому, как четырехугольники могут быть и невыпуклыми.

Важное свойство выпуклых многогранных углов выражает следующая теорема.

Теорема. Сумма плоских углов граней выпуклого многогранного угла меньше четырех прямых углов, т. е. меньше 360°.

Рис. 11.33

Докажем эту теорему сначала для трехгранного угла V с вершиной О ребрами а, b, С и гранями а, (3, Y (рис. 11.33). Пусть луч d является продолжением луча а. Рассмотрим трехгранный угол V "смежный" с углом V, имеющий ребра d, b, С. Он имеет с углом V общую грань a, a две другие его грани являются углами, смежными с углами Р и у. Поэтому они равны . Согласно "неравенству треугольника" для трехгранных углов откуда и следует, что а Для трехгранных углов теорема доказана. Рассмотрим произвольный выпуклый многогранный угол V. Пусть а некоторая его грань с ребрами b, С и соседними гранями и у (рис. 11.34). Продолжим грани Р и у за ребра b и С до пересечения по лучу d. Добавим к граням Р и у углы Р и у со сторонами и с, d и уберем грань а угла V . Получим новый выпуклый многогранный угол V,, у которого нет грани а, грани Р и у продолжены до пересечения по ребру d, а все остальные грани те же, что и у угла V . Число граней V угла V, на единицу меньше, чем у угла а сумма

Рис. 11.34

Рис. 11.35

углов граней возросла, так как (по "неравенству треугольника" для трехгранного угла с ребрами d, b, С).

Продолжая такой процесс, мы придем к трехгранному углу, у которого сумма углов его граней больше, чем сумма углов граней исходного угла но, как уже доказано, сумма углов граней трехгранного угла меньше 360° (или в радианном измерении). Поэтому и для угла V сумма углов его граней меньше 360°.

Замечание. На рисунке 11.35 изображены операции, аналогичные операциям доказательства теоремы, но для выпуклых многоугольников. При продолжении сторон выпуклых многоугольников периметр нового многоугольника больше, чем периметр исходного.

По аналогии с тем, как мы строили двойственные трехгранные углы в п. 5.3, можно для любого выпуклого многогранного угла V" с вершиной в точке О построить двойственный ему угол вершиной в той же точке. Ребрами угла V будут лучи, перпендикулярные граням утла V" и расположенные с углом V по разные стороны от плоскости соответствующей грани (рис. 11.36). Как и в случае трехгранных углов, двойственные углы обладают следующими свойствами:

Рис. 11.36

Свойство 1. Если грань Q угла V имеет сторонами лучи I и перпендикулярные соседним граням Q и угла V, то угол между I и (т. е. величина

личина угла грани Q), равен , где а — величина двугранного угла между (рис. 11.36).

Свойство 2. Многогранный угол V — выпуклый, и двойственный к нему многогранный угол — это исходный многогранный угол V. Поэтому отношение двойственности вьтуклых многогранных углов взаимно.