29.3. Образы прямых и окружностей, плоскостей и сфер при инверсии.
Теорема (об инверсии). Инверсия на плоскости преобразует:
1) прямую, проходящую через центр инверсии, в эту же прямую;
2) прямую, не проходящую через центр инверсии, в окружность, проходящую через центр инверсии;
3) окружность, проходящую через центр инверсии, в прямую, не проходящую через центр инверсии;
4) окружность, не проходящую через центр инверсии, в окружность, не проходящую через центр инверсии. (Во всех случаях центр инверсии исключается).
Общее уравнение для прямых и окружностей на плоскости таково:
(если 
).
Действительно, при 
уравнение (8) становится линейным уравнением и задает прямую. Уравнение же окружности 
также является уравнением вида (8).
Выясним теперь, во что преобразует инверсия 
фигуру F, заданную уравнением (8). Для этого в (8) подставим выражение (7). Получим
т. е.
Уравнение (9) задает образ 
фигуры F при инверсии 
Рассмотрим последовательно все четыре случая.
1) F — прямая, проходящая через точку О (рис. 29.4 а). Тогда 
Поэтому уравнение (9) имеет вид 
т. е. задает ту же прямую 
2) F — прямая, не проходящая через точку О (рис. 29.4 б). Тогда 
, но 
и уравнение (9) приводится к виду
. Выделив полные квадраты, его можно записать так:
Рис. 29.4
Ясно, что (11) задает окружность, а поскольку 
удовлетворяют уравнению (10), то эта окружность проходит через точку О.
3) F — окружность, проходящая через точку О. Тогда 
но 
и уравнение (9) приводится к виду
Так как 
, то это уравнение задает прямую, не проходящую через точку О (рис. 29.4 в).
4) F — окружность, не проходящая через точку О (рис. 29.4 г). В этом случае 
и уравнение (9) имеет тот же вид, что и уравнение (8): оно тоже задает окружность, не проходящую через точку О. Мы рассмотрели все случаи.
Рис. 29.5
Рис. 29.6
Несложно повторить все эти рассуждения для пространства и убедиться, что в пространстве инверсия преобразует плоскость, проходящую через центр инверсии, в ту же плоскость, плоскость, не проходящую через центр инверсии, — в сферу, проходящую через центр инверсии, сферу, проходящую через центр инверсии, — в плоскость, не проходящую через центр инверсии, и, наконец, сферу, не проходящую через центр инверсии, — в сферу, также не проходящую через центр инверсии.
Рис. 29.7
