24.2. Общее уравнение плоскости.
Используя скалярное умножение, мы можем теперь вывести уравнение, задающее плоскость в системе декартовых координат. Она задается линейным уравнением. Как вам известно из планиметрии, на координатной плоскости х, у каждая прямая задается уравнением вида
причем коэффициенты А, В не обращаются в нуль одновременно.
Для плоскости в пространстве верен аналогичный результат.
Теорема. Плоскость в пространстве задается в системе прямоугольных координат х, у, z уравнением вида
при условии, что коэффициенты А, В, С не обращаются в нуль одновременно.
Рис. 24.4
Пусть в пространстве введены прямоугольные координаты х, у, z и задана некоторая плоскость а. Возьмем любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости а. Назовем его вектором нормали к плоскости а (рис. 24.4) и обозначим 
Положение плоскости а в пространстве вполне определится, если, кроме 
, задать какую-нибудь точку 
Точка 
принадлежит плоскости а тогда и только тогда, когда вектор МХ перпендикулярен вектору 
, т. е. тогда и только тогда, когда
Равенство (8) и является уравнением плоскости а.
Так как 
, то, используя формулу для скалярного произведения, получаем, что
Подставив это выражение в левую часть (8) и положив 
, получим (7).
Верно также и обратное утверждение: уравнение вида (7) при условии, что среди коэффициентов А, В, С есть ненулевые, задает в пространстве плоскость в системе прямоугольных координат. Если 
то такой плоскостью является плоскость а, проходящая через точку 
и имеющая вектор 
своим нормальным вектором.
Замечание. Рассмотрим случай, когда уравнение (7) плоскости ОС содержит не все координаты, например имеет вид 
т. е. 
. Если такому уравнению удовлетворяют
некоторой точки М плоскости 
то ему удовлетворяют и координаты любой точки прямой 
проходящей через точку М и перпендикулярной плоскости 
Поэтому в рассматриваемом случае плоскость а содержит эту прямую, т. е. а параллельна оси z, если D О, и проходит через ось z, если 
