ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧИ К § 1

Дополняем теорию

1.1. Прямые а и b параллельны. Точка О не лежит на этих прямых. Плоскость проходит через О и а, плоскость

проходит через О и b. Плоскости пересекаются по прямой с . Докажите, что прямая с параллельна данным прямым.

1.2. Прямая а лежит в плоскости а. Прямая b параллельна прямой а и имеет общую точку с плоскостью а. Докажите, что и прямая b лежит в плоскости а.

1.3. Докажите, что в параллелепипеде: а) для каждого ребра есть три, ему параллельных; б) каждое его сечение, проходящее через два параллельных ребра, является параллелограммом; в) для каждой диагонали грани найдется ей параллельная диагональ в другой грани; г) прямая, соединяющая центры противоположных граней, параллельна его ребру; д) все его диагонали имеют общую точку.

1.4. Докажите, что в правильной треугольной пирамиде равны: а) апофемы; б) углы между боковыми гранями и основанием; в) углы между соседними боковыми гранями.

Обобщите эти утвердения.

1.5. Докажите, что плоскость, проходящая через боковое ребро правильной треугольной пирамиды и центр ее основания, является биссектральной для соответствующего двугранного угла, то есть делит этот угол пополам.

Обобщите это утверждение.

Рисуем

1.6. Пусть РАВС — тетраэдр. Нарисуйте его сечение плоскостью: а) АРХ, где точка X лежит внутри ребра ВС; б) где точка X лежит внутри ребра АВ, а точка У — внутри ребра АС; в) AXY, где точка X лежит внутри ребра РВ, а точка Y — внутри ребра ВО, г) XYZ, где точка X лежит внутри ребра АС, точка Y — внутри ребра СВ, точка Z — внутри ребра СР.

1.7. Нарисуйте сечение тетраэдра РАВС плоскостью XYZ, если: а) X — точка внутри РА, Y — точка внутри PC, Z — точка внутри АВ; б) X — точка внутри РВ, У — точка внутри AC, Z — точка внутри АВ; в) X — точка внутри РА, У — точка внутри РВ, Z — точка внутри ВС; г) А" — точка внутри АВ, У — точка внутри PC, Z — точка внутри треугольника ABC.

1.8. РАВС — тетраэдр. Нарисуйте прямую: а) проходящую через А, скрещивающуюся с прямой РВ и пересекающую хотя бы одно ребро тетраэдра; б) проходящую через А, скрещивающуюся с прямой РВ и параллельную хотя бы одному ребру тетраэдра; в) проходящую через А и скрещивающуюся с прямыми, проходящими через три ребра тетраэдра; г) скрещивающуюся со всеми прямыми, проходящими через ребра тетраэдра.

1.9. Пусть ABCD — правильный тетраэдр, К — центр грани BCD, L — центр греши ACD, М — центр грани ABD, N — центр греши ABC. Нарисуйте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через: a) AD и DN; б) АС и АК, в) АС и СМ; г) DN и

1.10. Пусть ABCD — правильный тетраэдр. Нарисуйте прямую, которая проходит: а) через точку D и перпендикулярна прямой АС, б) через точку С и перпендикулярна прямой через точку К — середину отрезка ВС — и перпендикулярна прямой DA; г) перпендикулярно прямым DC и АВ.

1.11. Нарисуйте четырехугольную пирамиду PABCD, осно-вешием которой является произвольный четырехугольник ABCD. Нарисуйте прямую, по которой пересекаются плоскости: а) РАС и PBD; б) PAD и РВО, в) РА В и PCD. Как изменится рисунок, если основешием пирамиды будет параллелограмм?

1.12. Дана четырехугольная пирамида PABCD. Нарисуйте ее сечение плоскостью: a) APQ, где точка Q — точка пересечения диагоналей основания; б) АВК, где точка К лежит внутри ребра PD; в) AKL, где точка К лежит внутри ребра PD, точка L лежит внутри ребра PC; г) KLM, где точка К лежит внутри ребра РА, точка L лежит внутри ребра PD, точка М лежит внутри ребра PC; д) KLM, где точка К лежит внутри ребра РВ, точка L лежит внутри ребра PD, точка М лежит внутри основешия; е) KLM, где точка D лежит внутри отрезка АК, точка Р лежит внутри отрезка BL, точка М лежит внутри отрезка АВ; ж) KLM, где точка D лежит внутри отрезка АК, точка Р лежит внутри отрезка BL, точка А лежит внутри отрезка

1.13. PABCD — правильная пирамида, Q — центр ее основания. Нарисуйте прямую, проходящую через точку Р и перпендикулярную прямой: a) AD; б) CD; в) АС; г) BD; д) PQ. Нарисуйте прямую, проходящую через К — середину ребра AD — перпендикулярно

1.14. Дана правильная треугольная призма. Нарисуйте ее различные сечения плоскостью, проходящей через: а) сторону основешия; б) боковое ребро; в) диагональ боковой греши; г) середины двух боковых ребер; д) середины двух ребер одного основания; е) середину бокового ребра и середину ребра основания.

1.15. Дан прямоугольный параллелепипед. Нарисуйте его различные сечения плоскостью, которая проходит через: а) боковое ребро; б) диагональ основешия; в) середины двух соседних сторон боковой греши; г) диагональ параллелепипеда.

1.16. Дан куб . Нарисуйте сечение куба плоскостью, которая проходит через: а) точку середину ребра АВ, точку С, и середину ребра ВС; б) три точки внутри ребер середины ребер AD, ВС,

г) точку точку В и середины ребер середины ребер отрезки и ВС; ж) отрезки АВ, и середины ребер и отрезок АС; и) точку А и середины ребер

1.17. Пусть — куб. Нарисуйте прямую, которая проходит: а) через точку С и перпендикулярна прямой через точку С, и перпендикулярна прямой

в) через точку В, и перпендикулярна прямой АС; г) через точку В и перпендикулярна прямой

1.18. Пусть — куб, точка К — середина ребра Нарисуйте прямые, проходящие через точку К и пересекающие прямые:

1.19. Нарисуйте линейный угол двугранного угла, образованного: а) гранями правильного тетраэдра; б) боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды; в) боковыми гранями правильной треугольной пирамиды; г) боковой гранью и основанием правильной четырехугольной пирамиды; д) соседними боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды; е) противоположными боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды.

Планируем

1.20. Пусть РАВС — правильный тетраэдр, точка Q — центр его основешия, точка К — центр греши РАС, точка L — центр грани РВС, точка М — середина ребра РВ, точка N — середина ребра ВС. Как вычислить расстояния: PQ, QM, QK, AL, KL, MN, если известна длина ребра тетраэдра?

1.21. Пусть РАВС правильный тетраэдр, точка М— середина ребра РВ, точка L — середина ребра АС, точка К — середина ребра ВС, точка N — середина ребра РА, точка О — середина ребра PC. Как найти длину общего отрезка таких сечений тетраэдра: а) АМС и PLB; б) РКА и PLB; в) PLB и CMN; г)

и

1.22. Дана правильная треугольная пирамида. Как найти угол между: а) боковой гранью и основанием; б) соседними боковыми гранями? Ребра пирамиды известны. Обобщите эту задачу.

Представляем

1.23. Пусть РАВС — тетраэдр, точка К — середина ребра РА, точка L — середина ребра АВ, точка М — середина ребра ВС, точка N — середина ребра PC, точка О лежит на ребре РВ. Как расположены прямые: а) АР и ВС; б) KL и МО; в) KL и ВС; г) KN и LO; д) АО и KL; е) КМ и СО; ж) и CL; з) МО и PC; и) KN и

1.24. Пусть куб, точка К, — середина ребра точка -середина ребра точка — середина ребра точка — середина ребра точка — середина ребра точка середина ребра АВ, точка середина ребра AD. Как расположены прямые:

Оцениваем

1.25. Сторона равностороннего треугольника ABC равна 1. Точка К удалена от вершин А и В на расстояние 2. При каком положении точки К расстояние АС достигает граничных значений?

1.26. В тетраэдре все ребра, кроме одного, имеют длину 1. В каких границах лежит расстояние между серединами его противоположных ребер?

1.27. На ребре PC правильного тетраэдра РАВС с ребром 1 выбрана точка X. При каком положении точки X площадь треугольника достигает граничных значений?

Сделаем

1.28. Может ли сечение правильного тетраэдра быть:

а) равнобедренным, но не правильным треугольником;

б) тупоугольным треугольником;

в) прямоугольным треугольником;

г) квадратом;

д) прямоугольником, но не квадратом?

1.29. Можно ли в сечении правильной четырехугольной пирамиды получить: а) равносторонний треугольник; б) трапецию; в) правильный пятиугольник; г) шестиугольник?

1.30. Точка К — середина ребра РА тетраэдра РАВС, точка L — середина ребра ВС. Докажите, что

Исследуем

1.31. Два отрезка АВ и CD не лежат в одной плоскости. Как вычислить расстояние между их серединами? (При этом никакие расстояния до этих середин не являются известными.) Выведите формулу для искомого расстояния. Будет ли верна эта формула, если данные отрезки лежат в одной плоскости? Как обобщить полученные результаты?

Поступаем в ВУЗ

1.32. Четыре прямые расположены в пространстве так, что каждые две из них пересекаются и никакие три не имеют общей точки. Докажите, что эти прямые лежат в одной плоскости.

1.33. Из концов отрезка АВ — а исходят два луча и , причем . На луче АХ отложен отрезок а на луче BY — отрезок так, что . Докажите, что расстояние от середины отрезка АВ до прямой PQ равняется 0,5 а

Переключаемся

1.34. Самолет летит по прямой с постоянной скоростью. В любой момент времени вы можете определить расстояние до него. Как найти его скорость?

ЗАДАЧИ К § 2

Дополняем теорию

1.35. Пусть из точки на плоскость проведены перпендикуляр и две равные наклонные. Докажите, что равны: а) проекции этих наклонных; б) углы, которые они образуют с плоскостью.

Докажите, что верны и обратные утверждения.

1.36. Докажите, что параллельные прямые составляют с одной и той же плоскостью равные углы.

1.37. Докажите, что боковое ребро правильной призмы перпендикулярно ее основанию.

1.38. Докажите, что высота правильной пирамиды проектируется в центр ее основания.

1.39. Из одной и той же вершины куба выходят диагональ и три ребра. Докажите, что эта диагональ куба перпендикулярна плоскости, проходящей через концы этих ребер.

1.40. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде диагонали равны.

1.41. Докажите, что точка, лежащая на прямой, перпендикулярной плоскости некоторого многоугольника и проходящей через центр его описанной окружности, равноудалена от его вершин. Докажите и обратное утверждение.

1.42. Докажите, что угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям.

1.43. Треугольник ABC — равнобедренный с основанием ВС. Через вершину А проведена прямая, перпендикулярная его плоскости. Точка X — переменная точка этой прямой, отличная от А. Докажите, что угол ВХС меньше угла ВАС. ,

1.44. Докажите, что в правильной -угольной пирамиде сумма всех плоских углов при ее вершине меньше 360 градусов.

1.45. Докажите, что все перпендикуляры, проведенные к данной прямой через данную ее точку, лежат в одной плоскости.

1.46. Биссектральной плоскостью двугранного угла называется плоскость, которая делит его на два равных по величине двугранных угла, а биссектором двугранного угла называется та часть биссектральной плоскости, которая лежит в данном двугранном угле. Докажите, что биссектор угла является множеством точек угла, равноудаленных от его граней.

1.47. Докажите, что существует точка, равноудаленная от: а) всех граней тетраэдра; б) плоскостей всех граней правильной пирамиды.

Рисуем

1.48. Пусть РАВС — правильный тетраэдр, точка Q — центр его основешия, точка К — середина ребра РА. Нарисуйте перпендикуляры: а) из К на плоскость ABC ; б) из К на плоскость ВСР; в) из Q на плоскость АРС; г) из Q на плоскость В КС.

1.49. Пусть РАВС — правильный тетраэдр. Нарисуйте проекцию: а) РА на плоскость ABC; б) РА на плоскость РВС; в) АС на плоскость РА В] г) треугольника РАС на плоскость ABC

1.50. Пусть РАВС — правильный тетраэдр, точка Q — центр его основания, точка К — середина ребра PC. Нарисуйте его сечение плоскостью, проходящей через: a) Q перпендикулярно прямой АС; б) Q перпендикулярно прямой РВ; в) К

перпендикулярно прямой PC; г) К перпендикулярно прямой АВ;

д) К перпендикулярно прямой РВ; е) К перпендикулярно прямой PQ; ж) Р перпендикулярно прямой ВК.

1.51. Пусть РАВС — правильный тетраэдр, точка К — середина ребра АС. Нарисуйте его сечение плоскостью, проходящей через: а) К перпендикулярно прямой РВ; б) К перпендикулярно прямой ВС; в) В перпендикулярно прямой РК.

1.52. Дан правильный тетраэдр. Нарисуйте линейные углы двугранных углов, заданных: а) его боковой гранью и основанием; б) его боковыми гранями; в) двумя плоскостями, проходящими через его ребро и центр противоположной грани.

1.53. Дана правильная треугольная пирамида. Нарисуйте ее сечение плоскостью, проходящей: а) через вершину перпендикулярно ребру основания; б) через вершину основания перпендикулярно боковому ребру; в) через середину ее высоты перпендикулярно этой высоте.

1.54. Дана правильная треугольная пирамида. Нарисуйте ее сечение плоскостью, перпендикулярной основанию и проходящей через: а) боковое ребро; б) медиану основешия; в) апофему пирамиды; г) высоту пирамиды; д) вершину основания;

е) середину ребра основания; ж) некоторую точку внутри ребра основания.

1.55. РАВС — прямоугольный тетраэдр (у него все плоские углы при вершине Р прямые). Нарисуйте перпендикуляр:

а) из середины ребра ВС на противоположные грани; б) из внутренней точки ребра АС на плоскость РВС; в) из внутренней точки грани ABC на плоскость РАС.

1.56. РАВС — прямоугольный тетраэдр. Нарисуйте проекцию: а) РА на плоскость ABC; б) РА на плоскость РВС; в) треугольника РАС на плоскость ABC; г) треугольника РАС на плоскость АВР; д) АС на плоскость РА В; е) АС на плоскость РВС; ж) треугольника РАВ на плоскость РВС; з) треугольника РВС на плоскость ABC; и) треугольника ABC на плоскость РАВ.

1.57. В пирамиде РАВС ребро РВ перпендикулярно плоскости ABC. РС=АС. Нарисуйте ее сечение плоскостью, проходящей через: а) Р и перпендикулярной АС; б) В и перпендикулярной РА; в) А и перпендикулярной ВС.

1.58. В четырехугольной пирамиде PABCD с равными ребрами точка Q — центр основания, точка К — середина ребра АВ. Нарисуйте перпендикуляры: а) из А на плоскость BPD; б) из К на плоскость А PC; в) из К на плоскость CPD; г) из Q на

плоскость APB; д) из D на плоскость ВСР; е) из К на плоскость APD; ж) из С на плоскость APD.

1.59. Пусть PABCD — правильная четырехугольная пирамида. Нарисуйте проекцию: а) РА на плоскость ABC; б) РА на плоскость PBD; в) AD на плоскость РАС; г) треугольника РВС на плоскость ABC; д) треугольника РАВ на плоскость PBD; е) треугольника PBD на плоскость РАС.

1.60. В четырехугольной пирамиде PABCD все ребра равны. Нарисуйте ее сечение плоскостью, проходящей через Р и перпендикулярной прямой: a) AD; б) CD; в) АС; г) BD; д) РА. Нарисуйте ее сечение плоскостью: е) проходящей через середину CD перпендикулярно прямой CD; ж) проходящей через центр основешия Q перпендикулярно прямой АС; з) середину PQ перпендикулярно PQ.

1.61. Дана правильная четырехугольная пирамида РА BCD. Нарисуйте ее сечение плоскостью, проходящей через: а) вершину Р и перпендикулярной основешию; б) ребро РА и перпендикулярной плоскости PBD; в) высоту пирамиды PQ и перпендикулярной плоскости CPD ; г) диагональ основания перпендикулярно его плоскости. Нарисуйте ее сечение плоскостью, перпендикулярной: д) двум противоположным граням; е) двум соседним грешям.

1.62. Через точку А, лежащую в плоскости а, проведен перпендикуляр А В к плоскости а . Нарисуйте самый короткий отрезок ВХ и самый длинный отрезок BY, если точки X и Y принадлежат таким фигурам плоскости а: а) прямой; б) отрезку; в) окружности; г) кругу; д) равностороннему треугольнику, центр которого находится в точке А; е) квадрату, центр которого находится в точке А.

1.63. Пусть ABCD — квадрат, точка К лежит внутри стороны CD, прямая KL перпендикулярна плоскости ABC. Нарисуйте перпендикуляры из L на прямые, проходящие через стороны квадрата, и на прямые, проходящие через его диагонали.

1.64. Пусть A BCD — ромб с острым углом 60 градусов. Нарисуйте перпендикуляры из точки Р на прямые, проходящие через стороны и диагонали ромба, если: а) прямая PD перпендикулярна плоскости ABC; б) прямая РА перпендикулярна плоскости ABC.

1.65. Нарисуйте четырехугольную пирамиду, в которой основанием является квадрат, а ребро перпендикулярно основанию

Нарисуйте самый короткий отрезок, соединяющий: a) D с прямой АР; б) D с прямой СР; в) Р с прямой АС.

1.66. Пусть PABCD — четырехугольная пирамида с равными ребрами. Нарисуйте самый короткий отрезок, соединяющий точку А с: а) сечением BDX этой пирамиды, где точка X лежит внутри ребра PC, б) гранью PCD; в) сечением PBD.

Планируем

1.67. Пусть даны перпендикуляр из точки на плоскость и наклонная из той же точки на ту же плоскость, а) Пусть известны их длины. Как вычислить длину проекции? Как вычислить угол между наклонной и плоскостью? б) Пусть известна длина наклонной и ее угол с плоскостью. Как вычислить длину перпендикуляра и проекции? в) Пусть известны длина перпендикуляра и угол между ним и наклонной. Как вычислить угол между наклонной и плоскостью, а также проекцию наклонной?

1.68. Из данной точки на данную плоскость проведены перпендикуляр и две равные наклонные. Известны длины перпендикуляра, наклонных и угол между наклонными. Как найти угол между их проекциями?

1.69. Как вычислить высоту правильной треугольной пирамиды, у которой известны: а) боковое ребро и ребро основания: в) боковое ребро и угол при вершине; в) ребро основания и двугранный угол при основании; г) боковое ребро и двугранный угол при боковом ребре?

1.70. Пусть известна высота правильной треугольной пирамиды. Как вычислить: а) боковое ребро, если известно ребро основания; б) ребро основания, если известно боковое ребро; в) ребро основания, если известен угол между боковым ребром и основанием; г) боковое ребро, если известен плоский угол при вершине; д) ребро основания, если известен двугранный угол при боковом ребре; е) боковое ребро, если известен двугранный угол при ребре основания?

1.71. В тетраэдре РАВС ребро РВ — его высота и Как найти неизвестные элементы тетраэдра (ребра, двугранные углы), если известны: а) ребра РВ, АВ и угол ABC; б) ребра РВ, АВ, АС; в) ребра и угол АРС; г) ребра РВ, РА, АС; д) ребра и угол АРС; е) ребра РВ, АС и угол АРС?

1.72. Как вычислить высоту правильной четырехугольной пирамиды, у которой известны: а) все ребра; б) боковое ребро и плоский утол при вершине; в) ребро основания и угол бокового ребра к плоскости основания; г) ребро основания и двугранный угол при зтом ребре; д) боковое ребро и двугранный угол при этом ребре; е) ребро основания и двугранный угол при боковом ребре; ж) боковое ребро и двугранный угол при

основании; з) боковое ребро и двугранный угол между противоположными боковыми гранями?

Представляем

1.73. Сколько пар взаимно перпендикулярных плоскостей можно насчитать в: а) прямоугольном параллелепипеде; б) прямоугольном тетраэдре; в) правильной четырехугольной пирамиде, в которой проведены диагонали основания?

1.74. Точки А и В лежат в двух взаимно перпендикулярных плоскостях вне их общей прямой. Сколько существует точек X на их общей прямой таких, что треугольник АХВ — прямоугольный с прямым углом при вершине X?

Оцениваем

1.75. В правильном тетраэдре РАВС точка К — переменная точка ребра РВ. При каком положении точки К достигает граничных значений расстояние: а) от К до прямой АС; б) от К до плоскости АРС?

1.76. В правильном тетраэдре РАВС через РХ , где X — переменная точка ребра ВС, проводится плоскость, перпендикулярная основанию. При каком положении точки X достигает граничных значений площадь сечения тетраэдра этой плоскостью?

1.77. В правильной треугольной пирамиде РАВС точка X — переменная точка ребра РВ. Когда достигает граничных значений площадь проекции треугольника АХС; а) на плоскость ABC; б) на плоскость РАС?

Сделаем

1.78. Через центры двух граней правильного тетраэдра проведены прямые, перпендикулярные этим граням. Определите взаимное расположение этих прямых. Проведите еще одну такую же прямую. Как она будет расположена по отношению к первым двум? Как обобщить полученный результат?

1.79. Имеется N плоскостей. Через данную точку проводятся прямые, перпендикулярные всем этим плоскостям. Докажите, что все эти прямые лежат в одной плоскости, если: а) все плоскости пересекаются по одной и той же прямой; б) каждые две плоскости пересекаются, причем прямые пересечения параллельны между собой.

Исследуем

1.80. Из каких трех утверждений можно вывести четвертое: .

1.81. Плоскости пересекаются, точка А лежит в плоскости a, точка В лежит в плоскости — перпендикуляр

на плоскость — перпендикуляр на плоскость а . Можно ли установить связь между величинами

Поступаем в ВУЗ

1.82. Прямоугольные проекции четырехугольника на две взаимно перпендикулярные плоскости являются квадратами со стороной 2. Одна из его сторон равна . Вычислите его периметр.

Ответ:

1.83. Круг радиуса R и равносторонний треугольник со стороной лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях. Одна из сторон треугольника лежит в плоскости круга. Отрезок, соединяющий центры круга и треугольника, образует с их плоскостями углы, равные . Найдите длину части стороны треугольника, лежащей внутри круга.

Ответ:

1.84. Через гипотенузу прямоугольного треугольника проведена плоскость, наклоненная к катетам треугольника под углами соответственно. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью треугольника.

Ответ:

1.85. Из точки ребра двугранного угла, равного а, в одной из его граней проведен отрезок, составляющий с этим ребром угол Какой угол образует отрезок с другой гранью?

Ответ:

1.86. На одной из граней острого двугранного угла лежит квадрат. Одна из сторон квадрата образует угол а с ребром двугранного угла. Определите величины углов между диагоналями квадрата и другой гранью двугранного угла.

Ответ:

1.87. Катеты АВ и АС прямоугольного треугольника ABC расположены соответственно в гранях Р и Q острого двугранного угла величины Катет А В образует с ребром двугранного

угла острый угол а. Определите угол между этим ребром и катетом АС.

Ответ:

1.88. На ребре двугранного угла 120 градусов взят отрезок длины С и из его концов восставлены к нему в различных гранях перпендикуляры длин а и b. Определите длину отрезка прямой, соединяющего концы этих перпендикуляров.

Ответ:

1.89. Через гипотенузу ВС прямоугольного треугольника ABC проведена плоскость а, расстояние от вершины А до этой плоскости равно 3. Найдите угол между плоскостью а и плоскостью треугольника, если

Ответ: .

Переключаемся

1.90. Шест надо установить вертикально. Сколько вам понадобится для этого тросов?

1.91. А почему иную колбасу режут наискосок?

ЗАДАЧИ К § 3

Дополняем теорию

1.92. Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

1.93. Пусть одна пара плоскостей пересекается по некоторой прямой, а другая пара плоскостей, соответственно параллельных данным, пересекается по другой прямой. Докажите, что эти прямые пересечения параллельны между собой.

1.94. Докажите, что параллельность плоскостей равносильна параллельности перпендикуляров к этим плоскостям.

1.95. Пусть данная прямая не лежит в данной плоскости. Докажите, что они параллельны, если: а) существует плоскость, параллельная данным плоскости и прямой; б) существует прямая, параллельная данным плоскости и прямой; в) существует прямая, перпендикулярная данным плоскости и прямой; г) существует плоскость, перпендикулярная данным плоскости и прямой; д) существуют две точки на данной прямой, одинаково удаленные от данной плоскости.

1.96. Две прямые параллельны. Одна из них параллельна данной плоскости, а другая имеет с этой же плоскостью общую точку. Докажите, что другая прямая лежит в данной плоскости.

1.97. Две плоскости пересекаются по некоторой прямой. Другая прямая параллельна каждой из данных плоскостей. Докажите, что она параллельна прямой, по которой эти плоскости пересекаются.

1.98. Две прямые пересекаются и каждая из них параллельна данной плоскости. Докажите, что плоскость, в которой лежат эти прямые, параллельна данной плоскости.

1.99. Докажите, что параллельны плоскости: а) противоположных граней прямоугольного параллелепипеда; б) оснований прямой призмы; в) противоположных граней параллелепипеда; г) оснований наклонной призмы.

1.100. Докажите, что множеством точек, равноудаленных от двух данных параллельных плоскостей, является параллельная им плоскость, проходящая через середину общего перпендикуляра двух данных плоскостей.

1.101. Докажите, что прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой: а) на этой плоскости; б) параллельной этой плоскости.

Рисуем

1.102. Дан куб Нарисуйте его сечение плоскостью KLM при таком расположении этих точек: а) К лежит внутри ребра лежит внутри ребра лежит внутри ребра AD; б) К лежит внутри ребра лежит внутри ребра лежит внутри ребра CD; в) К лежит внутри ребра лежит внутри ребра лежит внутри ребра лежит внутри ребра лежит внутри ребра лежит внутри ребра

1.103. Дан куб Нарисуйте его сечение плоскостью, которая проходит через: а) точку А и перпендикулярна плоскости точку А и перпендикулярна плоскости точку А и перпендикулярна плоскости прямую АС, и перпендикулярна плоскости ABD; д) прямую АС, и перпендикулярна плоскости прямую АС, и перпендикулярна плоскости ; ж) прямую AD, и перпендикулярна плоскости прямую AD, и перпендикулярна плоскости ABC; и) прямую AD, и перпендикулярна плоскости

1.104. Пусть куб. Нарисуйте два его сечения плоскостями, параллельными между собой и проходящими

через прямые: , где К и L — середины ребер и CD, д) АС и , где О, и граней

1.105. Пусть РАВС — правильный тетраэдр, точка Q — центр его основания, точка К лежит внутри ребра РВ. Нарисуйте его сечение плоскостью, проходящей через точку К и перпендикулярной прямой: a) ВС; б) РВ; в) PC; г)

1.106. Пусть РАВС — правильный тетраэдр, точка К — середина ребра АВ, точка L — середина ребра PC. Нарисуйте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей: а) перпендикулярно плоскости ABC; б) перпендикулярно прямой KL; в) параллельно прямым РК и AL; г) через точку К параллельно прямой РВ; д) через точку Р параллельно прямой XX.

1.107. Дана правильная треугольная пирамида РАВС, точка Q — центр ее основания. Нарисуйте сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости ABC и проходящей через:

а) точку Т внутри ребра РВ; б) точку М внутри медианы PL грани РАС; в) точку К внутри

1.108. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD точка Q— центр основания. Нарисуйте сечение пирамиды плоскостью, проходящей: а) через Q параллельно прямой

б) через Q параллельно прямой РА; в) через точку внутри PQ параллельно основанию; г) параллельно плоскости PAD; д) через CD параллельно прямой АВ; е) через точки К и X — середины ребер ВС и CD параллельно прямой BD; ж) через XX параллельно BD и АР; з) параллельно плоскости PKL; и) параллельно плоскости PKD; к) перпендикулярно плоскости перпендикулярно плоскостям PCD и РАВ.

Планируем

1.109. Дан куб с ребром 1. Точка К — середина ребра CD, точка L — середина ребра точка М — центр грани Как вычислить расстояния:

1.110. Дан куб с ребром 1. Точка К — середина ребра точка F — центр грани Как вычислить расстояния: а) от точки до плоскости от точки А, до плоскости 33,0,; в) от точки А, до плоскости

от точки К до плоскости от точки К до плоскости ААХСХ; е) от точки К до плоскости от точки F до плоскости от точки F до плоскости АВВХ

1.111. Дан куб . Как вычислить угол между лучом AD и лучами: а) ; г) ВСХ; д) ; з) DXB; и) ; к) ?

1.112. Дан куб . Точка К — середина ребра , точка L — середина ребра , точка М — середина ребра АХВХ, точка N — середина ребра , точка Р — середина ребра , точка Q — середина ребра ВС, точка R — середина ребра точка S — середина ребра . Как вычислить угол между прямыми: a) KL и MN; б) KL и PQ; в) МР и

1.113. Пусть РАВС — правильный тетраэдр, точка Q — центр его основания, точка К — середина ребра РВ , точка L — середина ребра АС. Как вычислить угол между прямыми: а) АР и ВС; б) АР и CQ; в) АР и СК; г) АК и ВС; д) АК и PL; е)

1.114. Известны расстояния от трех вершин параллелограмма до данной плоскости. Как найти расстояние до этой плоскости от четвертой вершины параллелограмма?

Представляем

1.115. Какую фигуру образуют в пространстве все точки, удаленные от данной плоскости на расстояние: а) равное данному; б) большее данного; в) меньшее данного?

1.116. Даны две параллельные плоскости. Какую фигуру образуют в пространстве все точки, которые: а) равноудалены от зтих плоскостей; б) к одной из них ближе, чем к другой?

1.117. Какой фигурой является множество точек, равноудаленных от: а) двух параллельных прямых; б) двух пересекающихся прямых; в) двух параллельных плоскостей; г) двух пересекающихся плоскостей; д) прямой и плоскости, перпендикулярных между собой?

1.118. Какой фигурой является множество точек, равноудаленных от: а) двух граней тетраэдра; б) трех граней тетраэдра; в) боковых граней правильной пирамиды; г) боковых граней правильной призмы (фигура лежит внутри многогранника)?

1.119. Какой фигурой является множество биссектрис всех линейных углов данного двугранного угла?

Оцениваем

1.120. В основании четырехугольной пирамиды PABCD лежит квадрат. Грань РАВ перпендикулярна основанию и является равносторонним треугольником. В этой пирамиде проводится сечение, параллельное плоскости PCD. Можете ли вы узнать, в каком положении такое сечение имеет наибольшую площадь?

1.121. В правильной треугольной призме все боковые грани — квадраты. Точка К — середина ребра АС, точка L — середина ребра АВ, точка М — середина ребра точка N — переменная точка ребра . Проводятся сечения призмы плоскостями KLM и BCN и рассматривается общий отрезок, этих сечений. Какой из таких отрезков является наибольшим? А наименьшим?

Сделаем

1.122. Точка К удалена от всех вершин треугольника на 1, точка L удалена от всех сторон треугольника на 1. Какая из них ближе к плоскости треугольника?

1.123. Через каждую из двух скрещивающихся диагоналей боковых граней правильной треугольной призмы проводятся два сечения так, что они параллельны другой из этих диагоналей. Докажите, что эти сечения равны.

Исследуем

1.124. В параллелепипеде в вершине А сходятся три ромба со стороной 1 и острым углом, равным Как вычислить высоту параллелепипеда?

1.125. Все плоские углы при одной из вершин тетраэдра прямые. Можно ли в сечении такого тетраэдра получить: а) прямоугольный треугольник; б) остроугольный треугольник; в) тупоугольный треугольник; г) треугольник любой наперед заданной формы?

Поступаем в ВУЗ

1.126. Отрезки двух прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, относятся как а их углы с плоскостями — как Найти эти углы.

Ответ:

1.127. Найдите угол между двумя скрещивающимися прямыми а и b, если расстояние между точками А прямой а и В прямой b, равноотстоящими от оснований С на прямой а

и D на прямой b общего перпендикуляра к этим прямым, равно .

Ответ:

1.128. Основание АС и вершина В равнобедренного треугольника ABC находятся на различных гранях прямого двугранного угла с ребром . Точки А и В удалены от на расстояние а, а проекция С на ребро равноудалена от проекций А и В на . Найдите расстояние от С до , если АВ образует с угол 60 градусов.

Ответ:

1.129. Отношение длин двух отрезков, заключенных между параллельными плоскостями, равно к, а величины углов, которые каждый из этих отрезков составляет с одной из плоскостей, относятся как Найдите величины этих углов и допустимые значения к.

Ответ:

1.130. Дан прямоугольник, длины сторон которого равны 1 и 2. Меньшая сторона прямоугольника лежит на плоскости Р, а диагональ прямоугольника образует с плоскостью Р угол величина которого равна а. Найдите величину угла между плоскостью прямоугольника и плоскостью Р.

Ответ: .

1.131. Точки М, N, Р, Q расположены в пространстве так, что Докажите, что

1.132. АВ и CD параллельные прямые, лежащие в двух пересекающихся плоскостях, образующих угол 60°. Точки А и D удалены от линии пересечения плоскостей на расстояния А и В. Найдите расстояние между А В и

Ответ:

1.133. Два квадрата ABCD и KLMN расположены в пространстве так, что центр квадрата KLMN совпадает с серединой стороны АВ. Точка А лежит на стороне LM и точка N равноудалена от точек В и С. Расстояние от М до ближайшей к ней точке квадрата ABCD равно а расстояние от К до ближайшей к ней точки квадрата ABCD равно 5. Найдите длины сторон квадратов и расстояние от точки до плоскости .

Ответ:

1.134. Угол между скрещивающимися прямыми равен . Точки Е и F являются серединами отрезков АВ и CD соответственно, а прямая EF перпендикулярна прямым АВ и CD. Найдите угол АСВ, если известно, что

Ответ: .

1.135. На прямой в пространстве последовательно расположены точки А, В и С такие, что Найдите расстояние между прямыми и q, если расстояния от точек А, В и С до прямой q равны 17, 10 и 8 соответственно.

Ответ: 8.

Переключаемся

1.136. Объясните, почему часовая и минутная стрелки часов движутся в параллельных плоскостях.

1.137. Из наблюдательного пункта установили, что расстояние до самолета увеличивается, а угол, под которым он виден, уменьшается. Взлетает этот самолет или садится?

1.138. Как на столе расставить 4 одинаковые бутылки так, чтобы расстояния между их горлышками были одинаковыми?