3.6. Сонаправленность лучей и угол между прямыми.

С параллельностью связано не только постоянство расстояний, но и равенство углов между параллельными фигурами и пересекающей их прямой или плоскостью. Вспомните, что именно так формулируются в планиметрии различные признаки параллельности прямых (рис. 3.24). В основе аналогичных утверждений в стереометрии (а также затем и в теории векторов) лежат два важных предложения о сонаправленных лучах.

Сонаправленность двух лучей определяется так же, как и в планиметрии. Два луча называются сонаправленными или одинаково направленными, если либо один из них содержит другой, либо они лежат на параллельных прямых по одну сторону от прямой, проходящей через их начала (рис. 3.25). Сонаправленные лучи и q обозначаются так: Угол между сонаправленными лучами полагается равным 0°.

Если лучи и q не сонаправлены и имеют общее начало, то они являются сторонами плоского угла (рис. 3.26), и угол между ними — это величина этого плоского угла.

Рис. 3.24

Рис. 3.25

Рис. 3.26

Рис. 3.27

Наконец, в общем случае, когда лучи и q не сонаправлены и имеют различные начала (рис. 3.27), поступают так: из любой точки О проводят лучи и q, сонаправленные соответственно с лучами и q. Углом между лучами и q называется угол между лучами и q. Угол между лучами и q обозначается так:

Корректность данного определения, т.е. независимость угла между лучами и q от выбора точки О, и вытекает из тех двух предложений, о которых уже было сказано. Докажем их.

Лемма 1. Углы, стороны которых соответственно сонаправлены, равны.

О Пусть даны два угла с вершинами в точках О и О и соответственно сонаправленными сторонами

Рис. 3.28

Рис. 3.29

и (рис. 3.28). Если данные углы лежат в одной плоскости, то утверждение леммы известно из планиметрии. Поэтому рассмотрим лишь случай, когда рассматриваемые углы не лежат в одной плоскости.

Отложим на сонаправленных сторонах этих углов равные отрезки: на на соответственно. Проведем отрезки OO, АА, ВВ, АВ и АВ. Так как и то четырехугольник ОА параллелограмм. Поэтому . Аналогично 00 - ВВ и Поэтому и т.е. четырехугольник АВВА — параллелограмм. Следовательно, .

Итак, в треугольниках ОАВ и ОАВ соответственные стороны равны. Но тогда в них равны и соответственные углы. Значит, , т.е.

Лемма 2. Два луча, сонаправленные с третьим, сонаправлены.

Пусть лучи а и b сонаправлены с лучом . Покажем, что . Так как , то они перпендикулярны некоторой плоскости а и лежат с одной стороны от плоскости а. Аналогично лучи b и С перпендикулярны некоторой плоскости и лежат с одной стороны от

Рис. 3.30

Рис. 3.31

плоскости (3. Так как а и (3 перпендикулярны одному лучу С, то (рис. 3.29) или Пусть плоскость а удалена от начала луча С дальше, чем плоскость Р. Тогда все лучи а, b, С лежат с одной стороны от плоскости а и все перпендикулярны ей (по теоремам о параллельности перпендикуляров и о параллели к перпендикуляру из п. 2.6). Поэтому .

Из лемм 1 и 2 вытекает корректность определения угла между лучами. Теперь мы можем определить угол между прямыми в пространстве как меньший из двух углов между лучами, параллельными этим прямым.

Согласно этому определению, угол между параллельными прямыми равен 0°. Для пересекающихся прямых это определение дает величину не тупого угла из пары вертикальных углов, образованных этими прямыми (рис. 3.30).

Если же прямые скрещиваются, то, чтобы найти угол между ними, можно поступить так: через любую точку провести прямые, параллельные данным, и найти угол между этими прямыми (рис. 3.31).

В частности, теперь можем говорить о взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых (а также лучах), если угол между ними равен 90°. Взаимно перпендикулярными называем и отрезки, лежащие на взаимно перпендикулярных прямых.

При таком расширении понятия перпендикулярности прямых, лучей и отрезков остаются справедливыми

Рис. 3.32

Рис. 3.33

доказанные ранее теоремы, в которых перпендикулярность рассматривалась лишь для пересекающихся прямых, лучей и отрезков: признак перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 2. п. 2.4) и теорема о трех перпендикулярах (теорема 1 п. 2.3). Убедитесь в этом! В дальнейшем мы будем применять эти теоремы именно в этом более широком смысле. Так, например, для того чтобы установить перпендикулярность прямой а и плоскости а, теперь можно найти на этой плоскости любые две пересекающиеся прямые, перпендикулярные прямой а. Эти прямые могут а не пересекать.