23.4. Применения скалярного умножения.

Операция скалярного умножения векторов позволяет находить углы между ненулевыми векторами (точнее, косинусы этих углов).

Рис. 23.2

Из формулы (1) следует, что

а для длины вектора а получаем формулу:

Кроме того, с помощью скалярного умножения доказывают перпендикулярность прямых, векторов, плоскостей и т.п. Приведем примеры.

1) Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Пусть четырехугольник ABCD — параллелограмм (рис. 23.2), Положим . Тогда

Кроме того и . Тогда

и

Поэтому

2) Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. В ромбе ABCD положим . Тогда . Поскольку то

3) Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов его ребер.

Если в параллелепипеде , обозначить то его диагонали зададутся равенствами:

Тогда