10.2. Граница и внутренность.

Определения границы фигуры и ее внутренности вполне соответствуют наглядным представлениям о них. То, что точка А лежит на границе фигуры F означает, что сколь угодно близко к ней, кроме точек самой фигуры F, имеются также и точки, не принадлежащие фигуре F (рис. 10.2).

Рис. 10.2

Итак, точка называется граничной для данной фигуры, если сколь угодно близко от нее есть точки, как принадлежащие фигуре, так и не принадлежащие ей. Выражение "сколь угодно близко" означает "на сколь угодно малом расстоянии". Реальные примеры граничных точек — точки на границе государства или на границе садового участка.

Множество граничных точек фигуры называется ее границей.

Точка фигуры, не лежащая на ее границе, называется внутренней точкой фигуры.

Множество внутренних точек фигуры называется ее внутренностью.

Внутренность фигуры получается, если из фигуры исключены все ее граничные точки, т.е. удалена ее граница. Например, сфера радиусом R с центром О является границей шара радиуса R и тем же центром О. Множество точек X, для которых является внутренностью этого шара.

Граница фигуры может принадлежать ей, а может и не принадлежать или принадлежать отчасти, как, скажем, у куба с одной или со всеми исключенными гранями.

Точки, которые не являются ни внутренними, ни граничными для фигуры, называются внешними для нее точками.

Данные общие определения относятся не только к стереометрии, но также и к планиметрии. В планиметрии точка называется граничной для данной фигуры, если сколь угодно близко от нее есть точки плоскости, как принадлежащие фигуре, так и не принадлежащие ей. Внутренние точки фигуры — это те точки, вблизи которых нет точек плоскости, не принадлежащих фигуре. Например, окружность круга — это его граница на плоскости, и, исключая ее, получаем внутренность круга на плоскости.

В стереометрии фигура рассматривается в пространстве. Граничные точки фигуры — это те, сколь угодно близко к которым есть точки пространства, как принадлежащие фигуре, так и не принадлежащие ей.

Поэтому если плоская фигура рассматривается как фигура в пространстве, то, очевидно, сколь угодно близко к любым ее точкам есть точки пространства, ей не принадлежащие, — точки вне плоскости фигуры. Как фигура в пространстве, она сплошь состоит из граничных точек.

Следовательно, понятия границы и внутренности относительны: говоря о внутренних точках или о границе, нужно иметь в виду, относительно чего они берутся. Так, например, можно говорить о внутренних и граничных точках фигуры на сфере относительно сферы и т.п.

На плоскости точки, расположенные от данной точки А не более чем на данное расстояние , образуют круг с центром в точке А. В пространстве же такие точки образуют шар. Поэтому внутренние и граничные точки фигуры можно характеризовать следующим образом.

В пространстве точка А является граничной точкой фигуры F, если во всяком шаре с центром А (как бы он мал не был) содержатся точки, как принадлежащие фигуре, так и не принадлежащие ей. Точка В является внутренней точкой фигуры, если есть шар с центром В, который целиком содержится в фигуре, т.е. не содержит точек, не принадлежащих фигуре (рис. 10.3).

На плоскости граничные и внутренние точки характеризуются так же, только вместо шара берется круг.