17.2. Площадь сферы.
Площадь искривленной поверхности, которую нельзя развернуть на плоскость, вычисляют так. Разбивают поверхность на такие куски, которые уже достаточно мало отличаются от плоских. Потом находят площади этих кусков, как если бы они были плоскими (например, заменяя их проекциями на плоскости, от которых поверхность мало отклоняется). Сумма их площадей и даст приближенно площадь поверхности. Так поступают на практике: площадь поверхности купола получается как сумма площадей покрывающих его кусков листового металла (рис. 17.5). Еще
Рис. 17.5
Рис. 17.6
Рис. 17.7
лучше это видно на примере земной поверхности. Она искривлена — примерно сферическая. Но участки, небольшие в сравнении с размерами всей Земли, измеряют как плоские.
Вычисляя плоскость сферы, описывают вокруг нее близкую к ней многогранную поверхность. Ее грани будут приближенно представлять куски сферы, а ее площадь дает приближенно площадь самой сферы. Ее дальнейшее вычисление основано на следующей лемме.
Лемма. Объем 
многогранника Р, описанного вокруг сферы радиуса R, и площадь его поверхности связаны соотношением
Замечание: Аналогичным соотношением связаны площадь 
многоугольника Q, описанного вокруг круга радиуса 
и его периметр 
(рис. 17.6):
Опишем вокруг сферы какой-либо многогранник Р. Пусть у него 
граней 
Разобьем Р на пирамиды 
с общей вершиной в центре О и с гранями 
в основаниях (рис. 17.7).
Каждая такая грань 
лежит в касательной плоскости сферы и, значит, перпендикулярна радиусу сферы в точке касания. Значит, этот радиус есть высота пирамиды 
Поэтому ее объем будет:
где 
— площадь грани 
Сумма этих площадей дает площадь 
поверхности многогранника Р, а сумма объемов пирамид 
— его объем 
Поэтому
Теорема (о площади сферы). Площадь сферы радиуса R выражается формулой:
Пусть дана сфера радиуса R. Возьмем на ней П точек, не лежащих в одной полусфере, и проведем через них касательные плоскости к сфере. Эти плоскости ограничат многогранник 
описанный вокруг сферы. Пусть 
— объем многогранника 
— площадь его поверхности, V — объем шара, ограниченного рассматриваемой сферой, и S — ее площадь.
Будем увеличивать число 
выбранных точек и брать их на S все гуще. Например, возьмем достаточно густую сеть параллелей и меридианов и выберем точки их пересечения. Тогда выполняются приближенные равенства: 
Поэтому величина 
будет сколь угодно мало отличаться от числа 
. С другой стороны, согласно лемме 
при всех 
. Поэтому два
числа — и 
отличаются сколь угодно мало. Это возможно только в случае равенства эти чисел. Следовательно, 
Отсюда
