§ 2. Неустранимая погрешность

Условимся в дальнейшем обозначать точные значения каких-то величин латинскими буквами х, у, z,..., а соответствующие им приближенные значения такими же латинскими буквами, но со звездочкой вверху: х, у, z, ...

Пусть нам требуется вычислить значения функции

и точные значения аргументов нам не известны, а даны лишь их области неопределенности. Определить неустранимую погрешность у это значит найти область неопределенности этой величины. По существу это задача математического анализа и может быть решена любым из методов, выработанных, для таких целей в математическом анализе. При более или менее сложной функции применение точных методов математического анализа приводит к сложным и трудоемким вычислениям. Поэтому целесообразно иметь в своем распоряжении приемы, позволяющие решить нашу задачу более элементарно, хотя быть может и более грубо. Последнее оправдывается еще и тем, что сами области неопределенности х обычно бывают известны довольно грубо.

1. Абсолютная и относительная погрешности числа.

Прежде чем перейти к этому вопросу, введем некоторые характеристики точности чисел.

Рассмотрим разность

между точным значением некоторой величины и ее приближенным значением, с которым производится вычисление. Эту разность назовем абсолютной погрешностью числа х. Абсолютная погрешность и будет одной из характеристик точности чисел. Очевидно, она представляет только теоретический интерес, так как точного значения х мы в большинстве случаев не знаем. Но мы всегда можем указать границы, в которых изменяется абсолютная погрешность. Эти границы определяются тем способом, которым мы получили приближенное число х. Так, производя измерения обычной ученической линейкой, мы можем гарантировать, что модуль абсолютной погрешности не будет превышать Аналогично при производстве измерений штангенциркулем или микрометром мы получим соответственно, что абсолютные погрешности не могут превышать по модулю При замене иррационального числа конечной дробью величину погрешности также часто удается оценить. В связи с этим введем еще одно понятие, а именно: наименьшую из верхних границ которую можно найти исходя из способа получения числа х, будем называть предельной абсолютной погрешностью и обозначать На практике часто за предельную абсолютную погрешность А принимают не наименьшую из верхних граней а одну из верхних граней, достаточно близкую к наименьшей. В связи с грубостью оценок точности с помощью предельных абсолютных погрешностей мы не получим при этом заметной разницы. Таким образом, если то 2,175 с

Абсолютная погрешность и предельная абсолютная погрешность еще не характеризуют точность результата, как ее обычно интуитивно понимают, если не указан сам результат. В самом деле, пусть предельная абсолютная погрешность результата измерения равна 1 см. Если при этом измерялась длина комнаты, то точность удовлетворительная. Если же измерялось расстояние между двумя пунктами различных городов, то точность очень велика. Поэтому мы введем еще одну характеристику точности — относительную погрешность. Относительной погрешностью назовем отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению приближенной величины. Будем обозначать относительную погрешность числа х через Таким образом,

Точно так же вводится понятие предельной относительной погрешности, которую мы будем обозначать через

В отличие от абсолютной погрешности, которая чаще всего бывает размерной величиной, относительная погрешность будет величиной

безразмерной. В дальнейшем предельные абсолютные и относительные погрешности, если не будет опасности смешения, будем называть просто абсолютными и относительными погрешностями.

Посмотрим теперь, как изменяется предельная абсолютная погрешность при округлении числа. Пусть нам дано число

и мы округляем его согласно приведенным в § 1 правилам до старших разрядов. Если абсолютная погрешность числа с равна то

После округления мы получим число

где равно или При этом будет равно наименьшему из двух чисел:

или

Таким образом, абсолютная погрешность числа с будет равна наименьшему из двух чисел:

или

При любых условиях не будет превышать Могут быть такие случаи, когда окажется равной