2. Обобщение интерполяционных формул Ньютона на случай функции многих переменных.

Возьмем узлов, расположенных следующим образом:

Значения могут быть произвольными, так что взаимное расположение узлов может быть довольно общим. Проверим, что чет кривой порядка, проходящей через все эти узлы. В самом деле, если бы такая кривая имелась, она содержала бы точки, расположенные в первом ряду. Этих точек и все они лежат на одной прямой. Следовательно, вся прямая также принадлежала бы кривой порядка . В этом случае кривая порядка распадается на прямую и кривую порядка проходящую через остальные точек. Для нее можно было бы провести аналогичные рассуждения. Продолжая этот процесс, мы в конце концов пришли бы к заключению, что три точки лежат на одной прямой. Этого нет. Следовательно, выбранные нами узлы не могут лежать на одной кривой порядка

Построим теперь интерполяционный многочлен по нашим узлам. Обозначим его через а через Если рассмотреть только те из выбранных нами узлов, для которых то на тех же основаниях мы можем построить интерполяционный многочлен степени принимающий в точках значения Образуем разность

Она будет являться многочленом степени не выше обращающимся в нуль в точках Будем разыскивать ее в виде

Покажем, что действительно можно так подобрать постоянные что этот многочлен, обращающийся в нуль в точках будет равен при В точке все члены его обратятся в нуль, за исключением

Таким образом, коэффициенты определятся однозначно. И силу единственности представления интерполяционного многочлена по выбранным нами узлам это и будет единственным значением разности. Итак,

Поступая так же с а затем с и так далее, получим:

Выразим теперь коэффициенты через значения функции Подставляя в правую и левую части равенства получим В точке а правая часть равенства (11) равна Следовательно,

Это отношение является разделенной разностью функции при фиксированном Мы будем его обозначать Аналогично получим Зафиксируем теперь у, придав ему значение, равное Получим:

Это интерполяционный многочлен относительно х, принимающий в точке значение Следовательно,

При наш интерполяционный многочлен примет вид

Этот интерполяционный многочлен относительно X должен в точках принимать значения Последний член при этих значениях обращается в нуль. Следовательно, все члены правой части, кроме последнего, дают интерполяционный многочлен Ньютона степени принимающий в точках значения Таким образом,

Отсюда

Выражение в правой части имеет вид разделенной разности по у и будет также называться разделенной разностью. Итак,

Вообще, если мы уже знаем, что

для всех то, рассматривая получим

Рассуждая, как и прежде, найдем:

Рассматривая это выражение как функцию получим снова

Таким образом, мы можем записать окончательно нашу интерполяционную формулу в виде

Это — обобщение интерполяционной формулы Ньютона для неравных промежутков на случай интерполирования функций двух переменных.

Пример. Дана таблица функции двух переменных:

(см. скан)

Найти .

Составляем таблицы разделенных разностей. Эти разности будут очень малы, и мы будем давать их в единицах четвертого десятичного знака:

(см. скан)

(см. скан)

Как мы видим, разделенные разности второго порядка малы и разности более высоких порядков мы учитывать не будем. Наша формула даст

Точное значение с четырьмя десятичными знаками равно 0,2619.

В том случае, когда — наши формулы можно упростить. Пусть По аналогии с обычными конечными разностями введем двойные конечные разности:

В этом случае мы можем заменить разделенные разности конечными по формулам:

(см. скан)

Отсюда наша формула может быть приведена к виду

или, если обозначить

Это — обобщение формулы Ньютона для интерполирования вперед функций двух переменных. Аналогично можно получить обобщения и других интерполяционных формул.