§ 5. Формулы численного интегрирования Гаусса

1. Построение формул. Абсциссы формул Гаусса.

В предыдущем параграфе мы получили формулы численного интегрирования путем замены подынтегральной функции алгебраическим интерполяционном многочленом с равноотстоящими узлами интерполирования. Можно ожидать, что, избавившись от последнего требования, мы можем получить формулы, обладающие теми или иными преимуществами. В этом параграфе мы будем получать формулы, дающие возможно большую точность. Прежде всего надо условиться, что мы будем понимать под точностью формулы численного интегрирования. При замене подынтегральной функции алгебраическим интерполяционным многочленом, построенным по узлам интерполяции, мы получим такую формулу численного интегрирования, для которой остаточный член обращается в нуль, если подынтегральная функция является произвольным многочленом степени не выше Как мы видели, в случае формул Ньютона — Котеса с нечетным числом ординат остаточный член обращается в нуль, если подынтегральная функция является произвольным многочленом степени Может оказаться, что при каком-то другом расположении узлов эта степень еще может быть повышена. При использовании одинакового числа узлов будем считать ту формулу численного интегрирования более точной, для которой эта степень будет больше. Это определение точности формул численного интегрирования несколько условно, так как могут быть такие случаи, что менее точная в нашем понимании формула даст более точный результат. Но мы получаем все же какую-то характеристику точности.

Наши формулы численного интегрирования будут иметь вид

Здесь фиксированная весовая функция, постоянные коэффициенты, не зависящие от функции -остаточный член.

Если обращается в нуль, когда

где коэффициенты произвольны, то

Обозначим

Эти величины целиком определятся выбором весовой функции и отрезка интегрирования. В силу произвольности равенство (2) будет эквивалентно следующим:

Получили систему уравнений для определения неизвестных величин с и Отсюда следует, что максимальное значение для будет Правда, остается еще неясным, разрешима ли будет при этом система, будут ли ее решения действительными и будут ли все принадлежать отрезку Непосредственное исследование системы слишком громоздко, и мы пойдем по другому пути.

Будем отыскивать многочлен

где искомые абсциссы. Оказывается, удовлетворяет довольно несложному необходимому и достаточному условию, которое позволяет во многих случаях его явно определить. Покажем, что

если произвольный многочлен степени не выше Действительно,

является многочленом степени не выше Следовательно, Таким образом,

так как

Обратно, если мы найдем такой многочлен степени что

когда произвольный многочлен степени не выше и корни этого многочлена примем за узлы интерполирования, то в полученной при этом формуле численного интегрирования будет обращаться в нуль, когда является произвольным -членом степени не выше

Действительно, пусть является таким многочленом. Тогда

где многочлены степени не выше Отсюда

в силу нашего предположения. Но

так как как многочлен степени не выше совпадает со своим интерполяционным многочленом, построенным по узлам

Кроме того,

Таким образом,

и что и требовалось доказать.

В главе 5 мы покажем способы построения системы ортогональных многочленов при произвольных В этой главе мы найдем общий вид при Обозначив

будем вычислять интеграл

где произвольный многочлен степени не выше путем последовательного применения формулы интегрирования по частям. Будем иметь:

При а правая часть равна нулю, так как Отсюда следует в силу произвольности что

Итак, обладает корнями кратности при Следовательно,

где С — какая-то постоянная. Отсюда

С подбирается из того условия, что коэффициент при равен 1. Легко видеть, что

Окончательно получаем:

Последовательное применение теоремы Ролля показывает, что все корни уравнения

действительны, различны и заключены в интервале Таким образом, их действительно можно использовать в качестве узлов интерполяции и полученная при этом формула численного интегрирования будет удовлетворять поставленным условиям. В главе 5 будет показано, что и при произвольном весе многочлены будут иметь действительных различных корней, принадлежащих интервалу