2. Остаточные члены интерполяционных формул с центральными разностями.

Перейдем теперь к сравнительному анализу различных интерполяционных формул с точки зрения их практического применения. Прежде всего исследуем остаточные члены.

Для формулы Гаусса для интерполирования вгеред узлы брались в следующем порядке: Поэтому

или

Если производные заменить разностями, помня, что мы говорили об этом при выводе остаточных членов формул Ньютона, то получим:

Как и для формул Ньютона, ошибка оказывается приблизительно равной первому отброшенному члену интерполяционной формулы.

Для формулы Гаусса для интерполирования назад узлы брались в таком порядке: Поэтому

и

Грубые оценки примут вид:

Производные, входящие в оценку, целиком определяются выбранной функцией Множители при этих производных зависят от выбранной формулы интерполирования. Приведем здесь таблицу абсолютных значений этих множителей при изменении от —1 до 1. Индекс означает степень взятого нами интерполяционного многочлена. В левом столбце даны значения к формуле Гаусса для интерполирования вперед, в правом — для интерполирования назад.

(см. скан)

Сравнивая с соответствующими значениями множителей для интерполяционных формул Ньютона, приведенными на стр. 124, мы видим, что формуле Гаусса нужно отдать предпочтение. Объяснение этому факту давалось на стр. 94—96.

Мы пользуемся в первом случае крайними частями приведенных там графиков, в последнем — средними. Это дает нам основание отдать формулам Гаусса предпочтение. Однако ими не всегда удается воспользоваться. Действительно, если значение х, для которого нужно произвести интерполирование, находится вблизи начала или конца таблицы, то нам не будут известны разности, необходимые

для использования формул Гаусса. В этих случаях мы будем вынуждены применять формулы Ньютона. Если находится вблизи начала таблицы, используют формулу Ньютона для интерполирования вперед, если вблизи конца таблицы — для интерполирования назад. В остальных случаях применяют либо формулы Гаусса, либо формулы, полученные путем преобразования формул Гаусса.

Формула Эверетта получается путем исключения разностей нечетного порядка из формулы Гаусса для интерполирования вперед. Поэтому и остаточный член ее будет таков же, как и у формулы Гаусса для того случая, когда последняя использованная там разность имеет нечетный порядок следовательно, остаточный член ее будет иметь вид

Рассмотрим теперь неустранимые погрешности формул Гаусса. Для этого выберем из таблицы, приведенной на стр. 97, нужные нам значения коэффициентов при учитывая определение для обеих формул как и прежде, будет означать степень интерполяционного многочлена). Левый столбец будет относиться к формуле Гаусса для интерполирования вперед, правый — к формуле Гаусса для интерполирования назад.

(см. скан)

Как мы видим и неустранимые погрешности для формул Гаусса меньше, чем для формул Ньютона.

Перейдем теперь к оценке погрешности интерполяционной формулы Стирлинга. Она является полусуммой формул Гаусса. Поэтому и остаточный член ее будет равен полусумме остаточных членов формул Гаусса. Отсюда

и так как производная наряду с принимает все промежуточные значения, а среднее арифметическое двух чисел всегда заключено между наибольшим и наименьшим из них, то

и

Если последняя из использованных в формуле Стирлинга разностей имеет нечетный порядок, то остаточный член будет иметь вид

Получилось более сложное выражение, чем в предыдущем случае, и его не удается упростить так, как это было сделано в первый раз. Однако если предположить, что постоянна или хотя бы что она меняется незначительно на рассматриваемом промежутке, то, заменяя некоторым значением получим:

Грубые оценки остаточных членов для формулы Стирлинга будут иметь вид:

Дадим и для этого случая таблицу абсолютных значений коэффициентов при в остаточном члене формулы Стирлинга. Для того случая, когда берется формула Стирлинга, оканчивающаяся на разностях нечетного порядка, будем предполагать, что возможны упрощения, которые мы проделали. как и всегда, - степень интерполяционного многочлена.)

(см. скан)

Для отрицательных получатся значения, симметричные относительно

Сравнивая приведенные значения с соответствующими значениями для формул Гаусса, видим, что при четных значения одинаковы, а при нечетных и при близких к нулю, значения получились значительно меньшими. Правда, последнее имеет место при почти постоянных соответствующих производных. Вообще говоря, формулу Стирлинга выгодно применять, останавливаясь на разностях нечетного порядка, и при значениях близких к нулю.

На практике ее применяют для значений

Перейдем к формуле Бесселя. Ее мы получили как полусумму формулы Гаусса для интерполирования вперед и формулы Гаусса для интерполирования назад, но взятой со сдвигом на один шаг вперед. Для последней формулы остаточный член можно записать в одной из следующих двух форм:

Беря полусумму этих остаточных членов и соответствующих им остаточных членов формулы Гаусса для интерполирования вперед, получим остаточные члены формулы Бесселя:

Предполагая опять, что производная либо постоянна, либо меняется незначительно в рассматриваемом промежутке, мы можем упростить первое выражение (25) и записать:

Последнее выражение (26) упрощается, так же как и для формулы Стирлинга, путем использования свойства среднего арифметического и свойства производных. Оно может быть записано в виде

Грубые оценки остаточных членов записываются в виде

Здесь бросается в глаза следующий факт. При упрощенное выражение для обращается в нуль. Этого, вообще говоря, не будет в действительности. Погрешность обратится в нуль при в том случае, когда Таким образом, многочлен, представляемый формулой Бесселя, взятой до разностей порядка будет давать точные значения при если произвольный многочлен степени не выше Разница между точным и упрощенным выражениями будет определяться производными порядка Используя выражение остаточного члена формулы Лагранжа, содержащее разделенные разности, можно было бы показать, что разность между точным и приближенным значениями примерно равна

Приведем теперь абсолютные значения коэффициентов при в выражениях остаточных членов формулы Бесселя означает степень использованного интерполяционного многочлена). Для четных использована упрощенная формула.

(см. скан)

Как видим из этой таблицы, формула Бесселя имеет преимущества перед формулами Гаусса и Стирлинга при четных и особенно при значениях близких к Поэтому ее выгодно применять, когда формула заканчивается на четных разностях и при значениях заключенных в промежутке

Заметим, что при упрощении остаточных членов формул Бесселя и Стирлинга мы использовали предположение о почти постоянстве соответствующих производных. Это предположение имеет под собой почву в практике интерполирования. Дело в том, что если производные велики и сильно изменяются, а это обычно выражается в неправильном поведении соответствующих разностей, то вряд ли можно ожидать большой точности интерполирования. В этом случае либо увеличивают порядок используемых разностей, либо уменьшают шаг интерполирования.