2. Остаточный член формул Чебышева.

Получим теперь остаточные члены формул численного интегрирования Чебышева. Ограничимся случаем Пусть число ординат, использованных в формуле Чебышева, равно Соответствующий остаточный член будем обозначать Как известно, когда является произвольным многочленом степени Если четное число, то обращается в нуль и для произвольного многочлена степени не выше . В самом деле, если

то

Первый член справа, очевидно, равен нулю, а

Но интеграл, стоящий в правой части, равен нулю, так как является нечетной функцией х. Точно так же обращается в нуль и сумма в правой части, так как корни уравнения симметричны относительно начала координат. Итак, Утверждение доказано.

Пусть теперь произвольная функция, обладающая на отрезке непрерывными производными до порядка включительно. Здесь равно если нечетное число, и равно если четное. По формуле Тейлора имеем:

Отсюда, в силу наших предыдущих рассуждений,

или

Меняя порядок интегрирования в первом члене справа, получим:

Введем обозначение

Тогда наш остаточный член (35) можно записать в виде

Исследуем функции

На отрезке они положительны, если нечетно, и отрицательны, если четно. Действительно, так как то

Отсюда и следует утверждение. Далее,

или

В частности,

Правая часть неотрицательна при и так как при то при Но

и так как при то при Отсюда получаем, что при —1, и, продолжая также дальше, придем, в конце концов, к заключению, что при нечетно!).

В силу доказанного, к выражению для применима теорема о среднем и

Таким образом,

где постоянная не зависит от вида функции Для отыскания постоянной проще всего поступить следующим образом. В качестве функции возьмем Тогда предыдущее равенство даст

Отсюда

При этом нам придется разыскивать суммы где равно или или Здесь удобны формулы Ньютона: где

где

являются коэффициентами уравнения

При помощи этих формул и выражаются через Последние находятся при помощи равенства:

Приведем готовые выражения остаточных членов для тех значений для которых формулы Чебышева существуют:

При выводе остаточного члена для формул Чебышева мы по существу следовали тому пути, который был указан в § 3.